Um elemento pertence — ou não — a um conjunto.
\[3\in A\qquad 7\notin A\]
Use ∈ e ∉ para relacionar um elemento ao conjunto.
CONJUNTOS • ORGANIZAÇÃO
Antes de operar símbolos,
Antes de operar símbolos,
descubra quem pertence a quê.
Conjuntos organizam relações. A notação só fica simples quando você sabe quem é elemento, quem é subconjunto e qual região a pergunta está descrevendo.
Elemento e conjunto ocupam papéis diferentes.
A maior parte dos erros nasce quando símbolos parecidos são usados para relações diferentes.
Um conjunto pode estar contido em outro.
\[B\subseteq A\]
Use ⊆ quando todos os elementos de B também pertencem a A.
Toda leitura depende do universo considerado.
\[A\subseteq U\]
O complementar só faz sentido depois que o conjunto universo U está definido.
NÃO CONFUNDA: 3 ∈ A fala de elemento; {3} ⊆ A fala de conjunto.
A linguagem da pergunta aponta para a região.
Em vez de decorar símbolos isolados, traduza cada operação para uma pergunta concreta.
Pelo menos um dos conjuntos.
\[A\cup B\]
Reúne elementos que estão em A, em B ou nos dois.
Somente a região comum.
\[A\cap B\]
Conserva apenas os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
Somente a parte exclusiva de A.
\[A-B\]
Conserva os elementos de A que não pertencem a B; a região comum é retirada.
O que falta para completar o universo.
\[A^c=U-A\]
Depende do universo U. Sem universo, o complementar fica indefinido.
CARDINALIDADE
Contar a união exige corrigir a sobreposição.
Se somamos n(A) e n(B), quem está na interseção foi contado duas vezes. Por isso subtraímos a região comum uma vez.
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]
LEITURA: some os dois conjuntos e devolva uma contagem da parte repetida.
Palavras diferentes podem apontar para a mesma operação.
União.
\[A\cup B\]
Inclui quem está em um ou nos dois conjuntos.
Interseção.
\[A\cap B\]
Exige pertencimento simultâneo.
Diferença: A sem B.
\[A-B\]
Ficam apenas os elementos que estão em A e não estão em B.
Fora da união.
\[(A\cup B)^c\]
É o complementar da região coberta pelos conjuntos.
EXEMPLO GUIADO
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Antes de contar pessoas, organize as regiões.
Em uma turma de 40 estudantes, 22 estudam Inglês, 17 estudam Espanhol e 8 estudam os dois idiomas. Quantos estudam pelo menos um dos dois? Quantos não estudam nenhum?
INTERPRETAR
“Pelo menos um” pede a união.
Os 8 estudantes da interseção aparecem tanto nos 22 quanto nos 17.
ESTRUTURAR
Separe conjuntos e sobreposição.
\[n(I)=22\quad n(E)=17\quad n(I\cap E)=8\]
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Use inclusão-exclusão para não duplicar a interseção.
\[n(I\cup E)=22+17-8\]
CALCULAR
Primeiro a união; depois o complementar no universo da turma.
\[n(I\cup E)=31\qquad 40-31=9\]
31 estudam pelo menos um idioma e 9 não estudam nenhum.
CONFERIR
As regiões precisam recompor o universo.
Somente Inglês = 14, ambos = 8, somente Espanhol = 9 e nenhum = 9. A soma é 40.
ERROS QUE DERRUBAM QUESTÃO
Não escolha o símbolo antes de entender a região.
Em conjuntos, um pequeno erro de linguagem muda completamente o que está sendo contado.
Confundir ∈ com ⊆.
Um liga elemento a conjunto; o outro compara dois conjuntos.
Somar A e B sem descontar a interseção.
Quem pertence aos dois seria contado duas vezes.
Interpretar “ou” como exclusão automática.
Na união usual, “A ou B” inclui também quem está nos dois.
Usar complementar sem definir o universo.
O que está “fora de A” depende do conjunto universo considerado.
Treine leitura de regiões em questões reais.
PERTINÊNCIA • UNIÃO • INTERSEÇÃOOrganize a região antes de contar.
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