Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A circunferência C na figura a seguir está centrada no ponto A = (1, 1) e tangencia os eixos coordenados. A reta r passa pela origem O e pelo ponto A, intersectando a circunferência no ponto P, conforme indica a figura. A reta s é tangente à circunferência no ponto P e intersecta o eixo x no ponto Q. Assinale a alternativa que corresponde à abscissa do ponto Q.
A tangente em P é perpendicular ao raio AP, que está sobre a reta y = x. Qual é a inclinação de s? E qual é a distância OP?
O que a questão quer de verdade: onde a tangente em P, o ponto da circunferência mais distante de O sobre y = x, corta o eixo x.
• Raio: 1 (a circunferência toca os eixos e o centro é (1, 1)).
• OA = \sqrt{2}, então OP = \sqrt{2} + 1.
• P = \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2},\ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right).
• s tem inclinação −1: x + y = x_P + y_P.
Escrever a reta s na forma x + y = k e fazer y = 0.
A armadilha: usar o ponto de interseção mais próximo da origem, \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2},\ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right). A figura mostra P do lado de cima, longe de O.
Pela geometria: o triângulo OPQ é retângulo em P e isósceles (ângulo de 45° em O). Então OQ = OP \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}. Bate. Alternativa E.
x_Q = 2 + \sqrt{2}.
