Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150a^{-0{,}05t}, com a > 1, sendo T a temperatura do bolo e t o tempo decorrido em minutos. Assinale a alternativa que corresponde ao tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial que apresentava quando foi retirado do forno em t = 0. (Use se necessário \log_a 2 = 0{,}7 e \log_a 5 = 1{,}6.)
UFPR · 2024
Questão 8 — UFPR 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule T(0) primeiro: não é 150. Depois iguale T(t) à metade desse valor e isole a potência.
Resolução
O que você precisa saber
- Qualquer número elevado a zero vale 1.
- Se a elevado a k é igual a M, então k = log_a M.
- log_a (2/5) = log_a 2 − log_a 5.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o tempo em que T(t) é metade de T(0).
ESTRUTURAR
• T(0) = 30 + 150 \cdot a^0 = 180.
• Metade: 90.
• Equação: 30 + 150a^{-0{,}05t} = 90.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Isolar a^{-0{,}05t} e aplicar logaritmo na base a.
A armadilha: achar que a temperatura inicial é 150 ou fazer a metade só do 150 (a^{-0{,}05t} = \frac{1}{2}), o que leva a t = 14, que não está entre as alternativas.
CALCULAR
150a^{-0{,}05t} = 60 \Rightarrow a^{-0{,}05t} = \frac{2}{5}-0{,}05t = \log_a 2 - \log_a 5-0{,}05t = 0{,}7 - 1{,}6 = -0{,}9t = \frac{0{,}9}{0{,}05} = 18CONFERIR
Com t = 18: -0{,}05 \cdot 18 = -0{,}9, e a^{-0{,}9} = \frac{2}{5} pelos dados. Então T = 30 + 150 \cdot \frac{2}{5} = 90, metade de 180. Alternativa D.
Resposta
18 minutos.
Alternativa correta
D