O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t) = I_0 2^{rt}, em que I(t) representa o número de infectados da população, I_0 > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:
UFPR · 2021
Questão 50 — UFPR 2021
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Com r > 0, 2^{rt} sempre cresce. Para a alternativa D, compare 2^{t/2} com 1000 sabendo que 2^{10} = 1024.
Resolução
O que você precisa saber
- 2 elevado a um expoente que cresce também cresce: a função não tem máximo.
- Exponencial multiplica a cada passo; quem soma uma quantidade fixa é a função afim.
- 2 elevado a 10 é 1024, um pouco mais que 1000.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: julgar o comportamento de I(t) = I_0 2^{rt} em cada caso.
ESTRUTURAR
• Com r > 0 e I_0 > 0, I(t) é crescente para qualquer r.
• Caso D: I(t) = 2^{0{,}5t} = 2^{t/2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Eliminar as afirmações que contradizem "exponencial crescente" e fazer a conta da D.
A armadilha da C: confundir "dobra a cada dia" com "aumenta 2 a cada dia". Com I(t) = 2^t, de 2 para 4 aumenta 2, mas de 4 para 8 aumenta 4.
CALCULAR
A: 0 < r < 1 ainda dá expoente crescente. Falsa.
B: exponencial crescente não tem máximo. Falsa.
C: 2^t multiplica por 2 a cada dia, não soma 2. Falsa.
D: 2^{t/2} > 1000. Com t = 19: 2^{9{,}5} \approx 724. Com t = 20: 2^{10} = 1024. São necessários pelo menos 20 dias. Verdadeira.
E: r maior faz 2^{rt} crescer mais rápido. Falsa.
CONFERIR
2^{9{,}5} = 2^9 \cdot \sqrt{2} \approx 512 \cdot 1{,}414 \approx 724 < 1000, e 2^{10} = 1024 > 1000. Alternativa D.
Resposta
Com I_0 = 1 e r = 0{,}5, são necessários pelo menos 20 dias para passar de 1000 infectados.
Alternativa correta
D