UFPR · 2020

Questão 10 — UFPR 2020

Geometria analítica: posição relativa de circunferências Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x^2 + y^2 - 8x + 10y + 21 = 0. Qual das equações a seguir descreve uma circunferência que tangencia B?

(A)

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 15.

(B)

(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5.

(C)

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 3

(D)

(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 10.

(E)

(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 9.

Resolução

O que você precisa saber

Completar quadrados: x² − 8x = (x − 4)² − 16.
Tangentes por fora: distância entre centros = r₁ + r₂. Por dentro: = |r₁ − r₂|.
Para comparar com raízes, compare os quadrados (evita aproximação).

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: qual circunferência tem centro a uma distância de B exatamente igual à soma ou à diferença dos raios.

ESTRUTURAR

(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 + 25 - 21(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 20

• B: centro (4, -5), raio \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular a distância entre os centros para cada alternativa e comparar com 2\sqrt{5} \pm r.

A armadilha: comparar com números aproximados e aceitar a D. Ali, a distância é \sqrt{58} e a soma dos raios é \sqrt{20} + \sqrt{10}; os quadrados são 58 e 30 + 2\sqrt{200} \approx 58{,}28, que não são iguais.

CALCULAR

Alternativa B: centro (-2, -2), raio \sqrt{5}.

d = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-5 + 2)^2}d = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} = d

Tangentes por fora.

CONFERIR

As outras não batem: A tem d = \sqrt{74}; C, d = \sqrt{37}; D e E, d = \sqrt{58}. Nenhuma dessas distâncias é a soma nem a diferença dos raios. Alternativa B.

Resposta

(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5.

Alternativa correta B