Considere a região do plano cartesiano
A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| \le 1\}esboçada na figura.
Dado B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x + 1)^2 + y^2 \ge 1\}, a área da região A \cap B é:
Fuvest · 2023
Questão 83 — Fuvest 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
B é tudo o que fica fora do círculo de centro (-1, 0) e raio 1. Esse centro é um vértice do quadrado A.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do quadrado de diagonal d: d²/2.
- Área do setor de ângulo θ: (θ/360°) · πr².
- A ∩ B = A menos a parte de A que está dentro do círculo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do quadrado A menos o pedaço do círculo que cai dentro dele.
ESTRUTURAR
• Área de A: diagonais 2, então \frac{2 \cdot 2}{2} = 2.
• O círculo tem centro no vértice (-1, 0) do quadrado; o ângulo do quadrado nesse vértice é 90°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Ver que a parte do círculo dentro do quadrado é um setor de 90° (o arco de raio 1 não sai do quadrado, cujos lados medem \sqrt{2} > 1).
A armadilha: tirar o semicírculo (\frac{\pi}{2}) achando que metade do círculo está dentro do quadrado. Só o setor de 90° entre os dois lados que saem de (-1, 0) está.
CALCULAR
Setor de 90° e raio 1: \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}.
Área de A \cap B = 2 - \frac{\pi}{4}.
CONFERIR
2 - 0{,}785 \approx 1{,}21: positivo e menor que a área do quadrado. O ponto do arco na direção de 45°, (-1 + 0{,}707;\ 0{,}707), tem |x| + |y| = 1: toca o lado do quadrado, confirmando o setor inteiro dentro dele. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
2 - \frac{\pi}{4}.
Alternativa correta
A