Em quantos pontos do plano cartesiano a circunferência de equação (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 e a parábola de equação y = -2x^2 + 8x - 6 se intersectam?
UFPR · 2019
Questão 35 — UFPR 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva a parábola na forma y = -2(x - 2)^2 + 2. Com u = x - 2, substitua na circunferência.
Resolução
O que você precisa saber
- Forma canônica da parábola: y = a(x − h)² + k, vértice (h, k).
- Interseção de curvas: resolva o sistema formado pelas duas equações.
- Equação biquadrada: troque u² por uma nova variável.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas soluções reais tem o sistema circunferência + parábola.
ESTRUTURAR
y = -2(x - 2)^2 + 2• Circunferência: centro (2, -1), raio 3.
• Parábola: vértice (2, 2), concavidade para baixo.
• Com u = x - 2: y + 1 = -2u^2 + 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir y + 1 na circunferência e resolver a equação em u.
A armadilha: ver que o vértice (2, 2) está sobre a circunferência (3 acima do centro), achar que ela só "toca" a parábola ali e marcar 1. A parábola é mais fechada que a circunferência perto do vértice e a corta de novo mais abaixo.
CALCULAR
u^2 + (3 - 2u^2)^2 = 9u^2 + 9 - 12u^2 + 4u^4 = 94u^4 - 11u^2 = 0u^2(4u^2 - 11) = 0u = 0 ou u = \pm\dfrac{\sqrt{11}}{2}: três valores de x.
CONFERIR
Para u = 0: y = 2, ponto (2, 2). Para u^2 = \frac{11}{4}: y = -2 \cdot \frac{11}{4} + 2 = -3{,}5. Conferindo na circunferência: \frac{11}{4} + (-2{,}5)^2 = 2{,}75 + 6{,}25 = 9. São 3 pontos distintos. Alternativa D.
Resposta
3 pontos.
Alternativa correta
D