Sejam x, y \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), tais que \cos(x) = \dfrac{4}{5} e \operatorname{sen}(y) = \dfrac{5}{13}. Podemos concluir que \operatorname{tg}(x + y) é igual a:
UFPR · 2019
Questão 36 — UFPR 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use os triângulos 3-4-5 e 5-12-13 para achar \operatorname{tg} x e \operatorname{tg} y. Depois aplique a fórmula da tangente da soma.
Resolução
O que você precisa saber
- No 1º quadrante, seno, cosseno e tangente são positivos.
- Triângulos pitagóricos: 3-4-5 e 5-12-13.
- tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 − tg a · tg b).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a tangente da soma, a partir de um cosseno e de um seno dados.
ESTRUTURAR
• \cos x = \frac{4}{5} ⇒ \operatorname{sen} x = \frac{3}{5}, \operatorname{tg} x = \frac{3}{4}.
• \operatorname{sen} y = \frac{5}{13} ⇒ \cos y = \frac{12}{13}, \operatorname{tg} y = \frac{5}{12}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula da tangente da soma com frações.
A armadilha: somar as tangentes (\frac{3}{4} + \frac{5}{12} = \frac{7}{6}, a alternativa B) e esquecer o denominador 1 - \operatorname{tg}x \operatorname{tg}y.
CALCULAR
\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{6}1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12} = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}\operatorname{tg}(x + y) = \frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = \frac{56}{33}CONFERIR
Por seno e cosseno: \operatorname{sen}(x + y) = \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13} + \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} = \frac{56}{65} e \cos(x + y) = \frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13} - \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13} = \frac{33}{65}. A razão é \frac{56}{33}. Alternativa E.
Resposta
\dfrac{56}{33}.
Alternativa correta
E