Sabendo que \operatorname{sen}(2x) = \dfrac{3}{5}, assinale a alternativa que corresponde ao valor de [\operatorname{sen}(x) + \cos(x)]^2.
UFPR · 2024
Questão 5 — UFPR 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Desenvolva o quadrado da soma. Aparecem \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x e um termo do meio que lembra \operatorname{sen}(2x).
Resolução
O que você precisa saber
- (a + b)² = a² + 2ab + b².
- sen²x + cos²x = 1.
- sen(2x) = 2 · sen x · cos x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever (\operatorname{sen} x + \cos x)^2 em função de \operatorname{sen}(2x).
ESTRUTURAR
(\operatorname{sen} x + \cos x)^2= \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x + 2\operatorname{sen} x\cos xESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x por 1 e 2\operatorname{sen} x\cos x por \operatorname{sen}(2x).
A armadilha: elevar cada parcela ao quadrado e esquecer o termo do meio. Assim sobra só \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 (alternativa B).
CALCULAR
1 + \operatorname{sen}(2x) = 1 + \frac{3}{5} = 1{,}6CONFERIR
O resultado está entre 0 e 2, como deve ser: (\operatorname{sen} x + \cos x)^2 nunca passa de 2. Alternativa E.
Resposta
1,6.
Alternativa correta
E