Considere a função f(x) = -x^2 + 6x - 8. No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a, b) um ponto do gráfico de f, com b > 0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR.
UFPR · 2024
Questão 6 — UFPR 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A base PQ é fixa, no eixo x. A área só depende da altura, que é b. Qual é o maior b possível num ponto do gráfico?
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo: base × altura ÷ 2.
- Com a base no eixo x, a altura é a distância do terceiro vértice ao eixo: |y|.
- O maior valor de uma parábola com concavidade para baixo está no vértice.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a maior altura possível do ponto R acima do eixo x, andando sobre a parábola.
ESTRUTURAR
• Raízes: -x^2 + 6x - 8 = 0 \iff x^2 - 6x + 8 = 0 \iff x = 2 ou x = 4.
• Base: PQ = 4 - 2 = 2.
• b > 0 só entre as raízes, e o maior b é o y do vértice.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o vértice e usar b_{\max} como altura.
A armadilha: tomar R fora do intervalo entre as raízes. Lá b < 0, e o enunciado exige b > 0; sem essa condição, a área cresceria sem limite.
CALCULAR
x_V = 3, \quad f(3) = -9 + 18 - 8 = 1\text{Área}_{\max} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1CONFERIR
Para qualquer outro R com b > 0, b < 1 e a área é menor que 1. Alternativa A.
Resposta
A área máxima é 1.
Alternativa correta
A