A função quadrática f(x) satisfaz a igualdade f(2x + 1) = 4x^2 + 10x + 9, para todo x \in \mathbb{R}. Assinale a alternativa que corresponde ao vértice da parábola dada pelo gráfico de f(x).
UFPR · 2026
Questão 8 — UFPR 2026
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Chame u = 2x + 1, escreva x em função de u e substitua. Você terá a lei de f(u).
Resolução
O que você precisa saber
- f(2x + 1) não é f(x): é f calculada no ponto 2x + 1.
- Para achar f, troque 2x + 1 por uma letra nova e reescreva tudo nessa letra.
- Vértice de y = ax² + bx + c: x = −b/(2a); o y do vértice é o valor da função nesse x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a lei de f e, com ela, o vértice do gráfico de f, não o da expressão dada.
ESTRUTURAR
• u = 2x + 1 \Rightarrow x = \dfrac{u - 1}{2}.
• Substituir em 4x^2 + 10x + 9.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Recuperar f(u) por substituição e calcular o vértice.
A armadilha: calcular o vértice de 4x^2 + 10x + 9. Isso dá x = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} e y = \frac{11}{4}, a alternativa E. É o vértice de f(2x + 1), não o de f(x).
CALCULAR
f(u) = 4\left(\frac{u - 1}{2}\right)^2 + 10 \cdot \frac{u - 1}{2} + 9f(u) = (u - 1)^2 + 5(u - 1) + 9f(u) = u^2 + 3u + 5x_V = -\frac{3}{2}f\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5 = \frac{11}{4}CONFERIR
Teste com x = 0: f(1) deve valer 9. Pela lei achada, f(1) = 1 + 3 + 5 = 9. Confere. O y do vértice é o mesmo nas duas parábolas (é a mesma curva, só deslocada e comprimida na horizontal), e só o x muda: 2 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) + 1 = -\frac{3}{2}. Alternativa C.
Resposta
\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{11}{4}\right).
Alternativa correta
C