Os números reais x e y satisfazem as equações:
\log_3(3y - 1) = 2 + \log_3 x2\log_2 y = 2 + \log_2 xAssinale a alternativa que corresponde ao valor da razão \dfrac{y}{x}.
UFPR · 2026
Questão 9 — UFPR 2026
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva cada número 2 como um logaritmo na mesma base (2 = \log_3 9 e 2 = \log_2 4) e tire os logaritmos das duas equações.
Resolução
O que você precisa saber
- log_b M + log_b N = log_b (M · N).
- k · log_b M = log_b (M elevado a k).
- Se log_b M = log_b N, então M = N (com M e N positivos).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: transformar o sistema logarítmico num sistema comum em x e y e calcular y/x.
ESTRUTURAR
• 1ª equação: \log_3(3y - 1) = \log_3 9 + \log_3 x = \log_3(9x).
• 2ª equação: \log_2 y^2 = \log_2 4 + \log_2 x = \log_2(4x).
• Condições: x > 0, y > 0 e 3y - 1 > 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar os logaritmos, isolar x na 2ª e substituir na 1ª.
A armadilha: tratar 2 + \log_3 x como \log_3(2 + x). O 2 fora do logaritmo vira um fator 9 dentro dele, não uma parcela.
CALCULAR
3y - 1 = 9x \quad \text{e} \quad y^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{y^2}{4}3y - 1 = \frac{9y^2}{4}9y^2 - 12y + 4 = 0(3y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x = \frac{(2/3)^2}{4} = \frac{1}{9}\frac{y}{x} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6CONFERIR
1ª: 3y - 1 = 1, \log_3 1 = 0, e 2 + \log_3 \frac{1}{9} = 2 - 2 = 0. 2ª: 2\log_2 \frac{2}{3} = \log_2 \frac{4}{9}, e 2 + \log_2 \frac{1}{9} = \log_2 \frac{4}{9}. As duas valem, e as condições de existência também. Alternativa E.
Resposta
\dfrac{y}{x} = 6.
Alternativa correta
E