Sejam p(x) = x + a e q(x) = x^2 - b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = \dfrac{1}{2} é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b.
UFPR · 2024
Questão 4 — UFPR 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva f(x) = (x + a)^2 - b. Para uma quadrática ter uma única raiz, quanto deve valer b?
Resolução
O que você precisa saber
- q(p(x)) é q calculada em p(x): troque o x de q por x + a.
- Uma quadrática tem raiz única quando o discriminante é zero (raiz dupla).
- (x + a)² = b tem uma só solução apenas quando b = 0.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os valores de a e b que fazem f ter só a raiz \frac{1}{2}.
ESTRUTURAR
• f(x) = (x + a)^2 - b.
• f(x) = 0 \iff (x + a)^2 = b.
• Se b > 0, há duas raízes; se b < 0, nenhuma; se b = 0, exatamente uma.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar b = 0 e depois a raiz x = -a = \frac{1}{2}.
A armadilha: só substituir x = \frac{1}{2} e ficar com uma equação de duas incógnitas, \left(\frac{1}{2} + a\right)^2 = b. Sem usar "única raiz", não se descobre b.
CALCULAR
b = 0 \Rightarrow f(x) = (x + a)^2x = -a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{2}a + b = -\frac{1}{2}CONFERIR
f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 vale zero só em x = \frac{1}{2}. Alternativa C.
Resposta
a + b = -\dfrac{1}{2}.
Alternativa correta
C