Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de maneira aproximada, pela expressão H_1 = 12\cos\left(\dfrac{2\pi t}{60}\right), e a profundidade do segundo, pela expressão H_2 = 12\operatorname{sen}\left(\dfrac{2\pi t}{60}\right), sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor. Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, após o acionamento do motor?
UFPR · 2015
Questão 61 — UFPR 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
As profundidades são iguais quando \cos\theta = \operatorname{sen}\theta, com \theta = \frac{2\pi t}{60}. Qual é o primeiro ângulo positivo em que isso acontece?
Resolução
O que você precisa saber
- sen θ = cos θ pela primeira vez (θ > 0) em θ = π/4, ou 45°.
- Igualdade de expressões com o mesmo argumento: iguale as funções.
- Depois, isole t no argumento.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o primeiro t > 0 com \operatorname{sen}\frac{2\pi t}{60} = \cos\frac{2\pi t}{60}.
ESTRUTURAR
12\cos\theta = 12\operatorname{sen}\theta\operatorname{tg}\theta = 1ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar \theta = \frac{\pi}{4} e resolver para t.
A armadilha: usar a segunda solução, \theta = \frac{5\pi}{4}, que dá 37,5 ms e não é a primeira vez, ou confundir o período (60 ms) com o tempo pedido.
CALCULAR
\frac{2\pi t}{60} = \frac{\pi}{4}t = \frac{60}{8} = 7{,}5\ \text{ms}CONFERIR
Com t = 7{,}5: \theta = \frac{2\pi \cdot 7{,}5}{60} = \frac{\pi}{4}, e H_1 = H_2 = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}. Antes disso, o cosseno é maior que o seno. Alternativa B.
Resposta
7,5 milissegundos.
Alternativa correta
B