Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros dois vértices sobre a parábola de equação y = 4 - x^2, com y > 0. Qual é o perímetro máximo desse retângulo?
UFPR · 2015
Questão 62 — UFPR 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Chame de (x, 0) e (x, 4 - x^2) os vértices da direita, com 0 < x < 2. A base mede 2x e a altura 4 - x^2. Escreva o perímetro em função de x.
Resolução
O que você precisa saber
- Por simetria, os vértices são (−x, 0), (x, 0), (x, 4 − x²) e (−x, 4 − x²).
- Perímetro = 2 · base + 2 · altura.
- Máximo de ax² + bx + c com a < 0: no vértice, x = −b ÷ 2a.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor máximo da função quadrática P(x) que dá o perímetro.
ESTRUTURAR
P(x) = 2 \cdot 2x + 2(4 - x^2)P(x) = -2x^2 + 4x + 8ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o vértice de P(x).
A armadilha: maximizar a área no lugar do perímetro, ou usar x como base inteira (em vez de 2x), o que leva a outro máximo.
CALCULAR
x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1P(1) = -2 + 4 + 8 = 10CONFERIR
Com x = 1: base 2 e altura 3, perímetro 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 10. Teste vizinho: x = 0{,}5 dá base 1 e altura 3,75, perímetro 9,5; x = 1{,}5 dá base 3 e altura 1,75, perímetro 9,5. Alternativa C.
Resposta
10.
Alternativa correta
C