Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente
UFPR · 2015
Questão 63 — UFPR 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ache por Pitágoras a altura que cada escada alcança na parede. Depois use semelhança: \frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, onde a e b são essas alturas.
Resolução
O que você precisa saber
- Escada, parede e chão formam um triângulo retângulo.
- Escadas cruzadas: a altura do cruzamento é h = ab ÷ (a + b).
- Essa fórmula não depende da largura do corredor.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura do cruzamento, a partir das alturas que as escadas atingem nas paredes.
ESTRUTURAR
a = \sqrt{4^2 - 2{,}4^2} = \sqrt{10{,}24} = 3{,}2b = \sqrt{3^2 - 2{,}4^2} = \sqrt{3{,}24} = 1{,}8ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar semelhança de triângulos. Se o cruzamento está a uma distância x da parede 1, então \frac{h}{a} = \frac{2{,}4 - x}{2{,}4} e \frac{h}{b} = \frac{x}{2{,}4}. Somando, \frac{h}{a} + \frac{h}{b} = 1.
A armadilha: tirar a média das alturas (2,5 m) ou usar a escada de 3 m como se chegasse a 3 m de altura.
CALCULAR
h = \frac{a \cdot b}{a + b}h = \frac{3{,}2 \cdot 1{,}8}{3{,}2 + 1{,}8} = \frac{5{,}76}{5}h = 1{,}152\ \text{m}CONFERIR
Pela soma: \frac{1{,}152}{3{,}2} + \frac{1{,}152}{1{,}8} = 0{,}36 + 0{,}64 = 1. Confere. A altura fica abaixo da menor das duas alturas (1,8), como deve ser. Alternativa A.
Resposta
Cerca de 1,15 m.
Alternativa correta
A