Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura a seguir, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto Q. Os raios dessas circunferências são R_1 e R_2, com R_1 < R_2. Cada uma das retas r e s é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto P. Qual é a distância entre os pontos P e Q?
P, os dois centros e Q estão na mesma reta (a bissetriz das tangentes). Os raios até a reta r formam dois triângulos retângulos semelhantes com vértice em P.
O que a questão quer de verdade: PQ em função de R_1 e R_2, usando a semelhança dos triângulos formados pelos raios.
• Seja d = PO_1. Então PO_2 = d + R_1 + R_2 (os centros distam R_1 + R_2).
• Semelhança: \dfrac{PO_1}{R_1} = \dfrac{PO_2}{R_2}.
• PQ = PO_1 + R_1 = d + R_1.
Resolver a proporção para d e somar R_1.
A armadilha: tomar PQ como PO_1, esquecendo o raio R_1 entre O_1 e Q. Isso leva a \frac{R_1(R_1 + R_2)}{R_2 - R_1}, que não está entre as alternativas.
Teste com R_1 = 1 e R_2 = 2: d = 3, PO_2 = 6, e \frac{3}{1} = \frac{6}{2}. PQ = 3 + 1 = 4, e a fórmula dá \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{2 - 1} = 4. Alternativa E.
PQ = 2\dfrac{R_1R_2}{R_2 - R_1}.
