Sejam r e s retas no plano cartesiano que são perpendiculares e se intersectam no ponto (3,3). Sabendo-se que a reta r intersecta o eixo x no ponto (2,0), assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico da área do triângulo delimitado pelas retas r e s e pelo eixo x.
UFPR · 2023
Questão 14 — UFPR 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ache a inclinação de r pelos dois pontos. A de s é o oposto do inverso. Depois descubra onde s corta o eixo x.
Resolução
O que você precisa saber
- Inclinação pela fórmula m = Δy/Δx.
- Retas perpendiculares: m · m' = −1.
- Triângulo com base no eixo x: altura é o |y| do terceiro vértice.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os três vértices do triângulo e a área dele.
ESTRUTURAR
• r passa por (2, 0) e (3, 3): m_r = \dfrac{3 - 0}{3 - 2} = 3.
• s passa por (3, 3) com m_s = -\dfrac{1}{3}.
• Vértices: (2, 0), (3, 3) e o ponto onde s corta o eixo x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar o corte de s com o eixo x, tomar a base no eixo e a altura 3.
A armadilha: usar a inclinação de s com o sinal trocado (\frac{1}{3}) e obter o corte em x = -6. A base viraria 8 e a área, 12 (alternativa A).
CALCULAR
s:\ y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 3)y = 0 \Rightarrow x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12Base: 12 - 2 = 10. Altura: 3.
\text{Área} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15CONFERIR
Pelos catetos (o ângulo reto é em (3, 3)): \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} e \sqrt{9^2 + 3^2} = 3\sqrt{10}. Área = \frac{\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10}}{2} = 15. Bate. Alternativa B.
Resposta
15.
Alternativa correta
B