Na figura a seguir, estão representadas quatro circunferências de raio r = 1 cm que são tangentes nos pontos A, B, C e D. Assinale a alternativa que corresponde ao valor, em cm², da área hachurada em cinza.
UFPR · 2023
Questão 12 — UFPR 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ligue os quatro centros. Que figura aparece, e qual é a medida do lado?
Resolução
O que você precisa saber
- Circunferências tangentes por fora têm centros a uma distância igual à soma dos raios.
- Cada canto de um quadrado tem 90°, que é um quarto de volta.
- Área de setor de 90° num círculo de raio r: πr²/4.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área do quadrado dos centros menos as partes de círculo dentro dele.
ESTRUTURAR
- Centros a 2 cm um do outro: formam um quadrado de lado 2.
- Dentro do quadrado ficam 4 setores de 90° (um de cada círculo).
- 4 setores de 90° somam um círculo inteiro de raio 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Área cinza = área do quadrado − área de um círculo.
A armadilha: tomar o lado do quadrado como 1 (o raio) em vez de 2 (a soma de dois raios), ou subtrair só meio círculo, o que dá 4 - \frac{\pi}{2} (alternativa E).
CALCULAR
4 \cdot \frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \pi\text{Área cinza} = 2^2 - \pi = 4 - \piCONFERIR
4 - \pi \approx 0{,}86 cm², positivo e menor que a área do quadrado, como a figura sugere. Alternativa D.
Resposta
4 - \pi cm².
Alternativa correta
D