Na figura a seguir, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo \alpha mede \dfrac{\pi}{3} radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é:
UFPR · 2021
Questão 47 — UFPR 2021
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Chame o raio de r. Escreva a área do setor e a do triângulo em função de r; na razão, o r^2 some.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do setor de ângulo α (em radianos): α · r² / 2.
- Área do triângulo com dois lados r e ângulo α entre eles: r² · sen α / 2.
- Com α = π/3, o triângulo PCQ é equilátero.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a razão setor/triângulo, que não depende do raio.
ESTRUTURAR
• Setor: \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{r^2}{2} = \dfrac{\pi r^2}{6}.
• Triângulo: \dfrac{r^2 \operatorname{sen}(\pi/3)}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\, r^2}{4}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Dividir as duas áreas e racionalizar.
A armadilha: esquecer o \frac{1}{2} da área do setor. Isso dá \frac{\pi}{3} \div \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9} (alternativa E).
CALCULAR
\frac{\pi r^2/6}{\sqrt{3}\, r^2/4} = \frac{4\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}CONFERIR
\frac{2\pi\sqrt{3}}{9} \approx 1{,}21. O setor é um pouco maior que o triângulo (tem o pedaço entre a corda e o arco), então a razão tem de passar um pouco de 1. Alternativa C.
Resposta
\dfrac{2\pi\sqrt{3}}{9}.
Alternativa correta
C