Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é
Os lados do pentágono cortam cada polígono por uma linha que liga seu centro aos centros vizinhos. Veja que fração de cada triângulo e de cada quadrado fica dentro do pentágono.
O que a questão quer de verdade: somar a parte de cada polígono que fica dentro do pentágono.
• Os cinco polígonos se encontram em um vértice comum P, e cada dois vizinhos dividem uma aresta que sai de P.
• Ligue P aos centros: dentro de cada polígono, o pentágono ocupa a região entre P, o centro e as duas arestas que saem de P.
Calcular, polígono por polígono, a fração da área dentro do pentágono.
A armadilha: achar que o pentágono pega metade de cada polígono. Ele pega a fatia de cada polígono que corresponde a um dos "cantos" em P.
Em cada polígono, a região do pentágono é formada por dois triângulos com vértice no centro, em P e nas extremidades das arestas vizinhas a P. Pela simetria de cada aresta comum, essa região tem a mesma área de um dos triângulos centro-lado do polígono.
Triângulo equilátero: o centro o divide em 3 partes iguais, então entra \frac{T}{3}. Três triângulos: T.
Quadrado: o centro o divide em 4 partes iguais, então entra \frac{Q}{4}. Dois quadrados: \frac{Q}{2}.
Área do pentágono: T + \frac{1}{2}Q.
Com lado 1 e coordenadas dos centros, a fórmula do polígono dá área \approx 0{,}933, igual a \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}. Alternativa C, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
T + \frac{1}{2}Q.
