Potências e equação do 2º grau (número de ouro)Média
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega \varphi, e seu valor é dado pela solução positiva da equação \varphi^2 = \varphi + 1.
Assim como a potência \varphi^2, as potências superiores de \varphi podem ser expressas da forma a\varphi + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência \varphi^7, escrita na forma a\varphi + b (a e b são inteiros positivos), é
(A)
5\varphi + 3
(B)
7\varphi + 2
(C)
9\varphi + 6
(D)
11\varphi + 7
(E)
13\varphi + 8
Pista
Multiplique \varphi^6 = 8\varphi + 5 por \varphi e troque \varphi^2 por \varphi + 1. Repare também no padrão dos coeficientes do quadro.
Resolução
O que você precisa saber
Multiplicar por φ uma potência de φ aumenta o expoente em 1.
Pela equação, φ² pode sempre ser trocado por φ + 1.
Os coeficientes do quadro seguem a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever \varphi^7 na forma a\varphi + b, usando a regra \varphi^2 = \varphi + 1.
ESTRUTURAR
• \varphi^6 = 8\varphi + 5 (do quadro).
• \varphi^7 = \varphi \cdot \varphi^6.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar \varphi^6 por \varphi e simplificar com \varphi^2 = \varphi + 1.
A armadilha: inventar um padrão que não existe, como somar 3 ao coeficiente de \varphi e 2 ao termo independente, o que levaria de 8\varphi + 5 para 11\varphi + 7 (alternativa D). A conta direta não deixa dúvida.
Outra forma: \varphi^7 = \varphi^6 + \varphi^5 = (8\varphi + 5) + (5\varphi + 3) = 13\varphi + 8. Os coeficientes 13 e 8 continuam a sequência de Fibonacci.
Resposta
13\varphi + 8.
Alternativa corretaE
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H2 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Em palavras de salaVocê enxerga a regra que se repete (um bloco de números, uma multiplicação, um jeito de escolher) e usa essa regra para chegar longe ou para contar, sem listar tudo.
Por que é H2
As potências de φ seguem um padrão no quadro, e a resposta é continuar esse padrão até φ⁷. Identificar padrões numéricos é a H2.
A H2 nesta questão
Cada potência é a soma das duas anteriores: φ⁷ = φ⁶ + φ⁵ = (8φ + 5) + (5φ + 3) = 13φ + 8. Os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci.
O que muda na hora de resolver
A H2 pede para achar a regra que gera o quadro, e não um palpite sobre os números. Quem soma 3 e 2 aos coeficientes inventa um padrão e marca D.
