Voltar para a lista · ENEM 2013 H2 Habilidade da Matriz do ENEM · ver o que ela pede

ENEM · 2013

Questão 165 — ENEM 2013

Análise combinatória (coloração com simetria) Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Vértices consecutivos do losango: A e B, B e C, C e D, D e A.
Separar em casos evita contar errado quando as escolhas dependem umas das outras.
Num losango não quadrado, virar ou girar meia volta troca B com D ou A com C, mas a peça é a mesma.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: quantas joias realmente diferentes existem, contando como iguais as que ficam iguais ao virar a peça.

ESTRUTURAR

3 cores.
Vértices vizinhos com cores diferentes.
Losango não quadrado: A e C ficam nas pontas compridas, B e D nas curtas.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Contar as pinturas por casos e depois juntar as que são a mesma joia virada.

A armadilha: contar cada pintura como uma joia diferente e chegar a 6 + 6 + 6 = 18 (alternativa C). Uma joia virada é a mesma joia.

Ponto discutível: O enunciado não diz com todas as letras que joias viradas são iguais. O gabarito oficial (12) só fecha com essa leitura; contando as posições A, B, C e D como fixas, seriam 18.

CALCULAR

Caso 1: A = C e B = D. Cor de A: 3; cor de B: 2. São 6 joias, e virar não muda nada.

Caso 2: A = C e B ≠ D. Cor de A: 3; B e D usam as outras duas cores: 2 ordens. São 6 pinturas, mas trocar B com D (virar a joia) dá a mesma peça: 3 joias.

Caso 3: A ≠ C e B = D. Pelo mesmo raciocínio: 3 joias.

Caso A ≠ C e B ≠ D: impossível, pois B e D teriam de fugir de duas cores e só sobra uma.

6 + 3 + 3 = 12

CONFERIR

Sem juntar as viradas, o total de pinturas seria 6 + 6 + 6 = 18, que é 12 mais as 6 pinturas repetidas dos casos 2 e 3 ✓.

Resposta

12 joias.

Alternativa correta B

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H2 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Em palavras de salaVocê enxerga a regra que se repete (um bloco de números, uma multiplicação, um jeito de escolher) e usa essa regra para chegar longe ou para contar, sem listar tudo.

Por que é H2

As joias saem das maneiras de colorir os quatro vértices sem repetir cor em vértices vizinhos. Identificar princípios de contagem é a H2.

A H2 nesta questão

A e C iguais, B e D iguais: 3 · 2 = 6 joias. A e C iguais, B e D diferentes: 6 pinturas, mas virar a joia troca B com D, então são 3. A e C diferentes, B e D iguais: também 3. Total: 12. Ponto discutível: O gabarito oficial (12) só fecha contando como iguais as joias viradas. Com as posições fixas, seriam 18.

O que muda na hora de resolver

A H2 pede para juntar as pinturas que viram a mesma joia. Quem conta cada pintura como uma joia diferente marca 18.

Ver a página da H2 Treinar as 24 questões da H2