DOSSIÊ 900+ · ENEM 2013
Joias / losango
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2013 · Q165
- Acerto geral
- 34% de 1.275 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 30% acerta
- Quem tira 800
- 32% acerta
- Parâmetro b
- 900+ nem 900 acerta a metade
Sem posição: nem quem tirou 900 acertou metade. Microdados do ENEM 2013 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE CONTAGEM
18 COLORAÇÕES NÃO SIGNIFICAM 18 JOIAS DIFERENTES.
Primeiro contamos as colorações válidas. Depois agrupamos as que representam a mesma joia ao virar a peça.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
A multiplicação bruta não distingue coloração de objeto físico.
Primeiro colorações válidas; depois joias realmente distintas.
18 é a contagem de colorações válidas antes de identificar equivalências.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 165
- Gabarito
- B
- Conteúdo
- Análise combinatória
- Subconteúdo
- Princípio fundamental da contagem · simetria
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Restrição · simetria
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A restrição de adjacência produz uma contagem combinatória que já exige organização.
- Mesmo encontrando as 18 colorações válidas, ainda é necessário perceber que algumas representam a mesma joia quando a peça é virada.
- A expressão losango não quadrado é estrutural: ela define as simetrias relevantes da peça.
ANTES DA CONTA
Não confunda coloração com joia diferente. Organize os casos pelos pares opostos A–C e B–D; depois verifique quais configurações coincidem por simetria.
configurações com vértices rotulados
algumas configurações coincidem
resultado físico final
O problema tem duas camadas: colorações válidas e equivalência física entre colorações simétricas.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Vértices opostos não são consecutivos, então podem ter a mesma cor.
DICA 02
Separe três famílias: A=C e B=D; A=C e B≠D; A≠C e B=D.
DICA 03
Nas duas últimas famílias, as 6 colorações aparecem aos pares quando a joia é virada. Portanto, cada família gera apenas 3 joias distintas.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
CONTE A CONFIGURAÇÃO — DEPOIS CONTE O OBJETO
A conta só fecha quando você separa duas perguntas: quantas colorações são válidas e quantas peças realmente diferentes elas representam?
- INTERPRETARAs três cores ocupam os quatro vértices, e vértices consecutivos devem ter cores diferentes. Vértices opostos podem repetir.
- ESTRUTURARClassificamos pelas igualdades dos pares opostos. Os casos possíveis são A=C e B=D, A=C e B≠D ou A≠C e B=D.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAConte cada família e, quando houver vértices opostos diferentes, elimine a duplicação produzida por virar a joia.
- CALCULARCaso 1: 3·2 = 6 joias. Caso 2: 6 colorações ÷ 2 = 3 joias. Caso 3: novamente 6 ÷ 2 = 3. Total: 6 + 3 + 3 = 12.
- CONFERIRAs famílias cobrem todas as configurações admissíveis. Logo são 12 joias diferentes. Alternativa B.
SEGUNDO CAMINHO
COMEÇAR PELAS 18 COLORAÇÕES
Também é possível listar as 18 colorações válidas do ciclo. Seis permanecem iguais ao virar a peça; as outras doze formam seis pares equivalentes. Assim, 6 + 12/2 = 12 joias distintas.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu separaria os pares opostos A–C e B–D.
2. Contaria as três famílias de igualdade/diferença.
3. Aplicaria a simetria: 6 + 3 + 3 = 12. Alternativa B.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
Chegar a 18 não significa ter terminado. Esse número conta colorações válidas com posições distinguidas. A pergunta é sobre joias diferentes; peças que coincidem ao serem viradas não devem ser contadas duas vezes.
DISTRATOR PRINCIPAL
CONTAR COLORAÇÕES EM VEZ DE JOIAS
A alternativa 18 captura quem resolve corretamente a restrição de cores, mas ignora a equivalência física entre configurações simétricas.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
CONFIGURAÇÕES DIFERENTES PODEM SER O MESMO OBJETO
Quando o problema fala de colares, pulseiras, joias ou objetos coloridos, pergunte se rotações ou reflexões podem transformar duas configurações aparentes no mesmo objeto.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Esse é o começo da contagem com simetrias: antes de multiplicar possibilidades, defina o que significa dois resultados serem realmente diferentes. O mesmo princípio aparece em colares, pulseiras, mesas circulares e colorações de polígonos.