DOSSIÊ 900+ · ENEM 2016
Índice de Gini
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.
O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão AA + B, em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.
A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2016 · Q169
- Acerto geral
- 19% de 1.446 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 20% acerta
- Quem tira 800
- 21% acerta
- Parâmetro b
- — discriminação baixa
Sem posição: discriminação baixa (a = 0,30). Microdados do ENEM 2016 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
O nome “Gini” intimida, mas a fórmula necessária já é fornecida pelo enunciado.
A dificuldade é enxergar geometria dentro do contexto socioeconômico.
É possível fazer toda a matemática certa e marcar a grandeza errada no final.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 169
- Gabarito
- A
- Conteúdo
- Geometria plana · Estatística
- Subconteúdo
- Áreas · Índice de Gini · leitura de gráfico acumulado
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Interpretação · integração
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O contexto fala de concentração de renda, mas a resolução depende de modelar áreas de figuras planas a partir de um gráfico acumulado.
- A fórmula do Índice de Gini é dada pronta; o desafio é construir corretamente as áreas A e B e reconhecer que A + B é fixo.
- O maior distrator é conceitual: y = 60% é um resultado intermediário correto, mas o enunciado pede a parcela recebida pelos 10% de maiores salários, isto é, 100% − y.
ANTES DA CONTA
Não comece tentando “entender economia”. Chame de y a ordenada do ponto P e traduza o desenho em áreas. O contexto desaparece e sobra um problema de geometria plana.
A + B é um triângulo fixo
30% da área total
o pedido é o complementar
O Índice de Gini entrega a área A antes de você descobrir a ordenada de P.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
A região A + B forma metade de um quadrado de lado 100. Calcule essa área antes de qualquer outra.
DICA 02
Se o Gini vale 0,3, então A representa exatamente 30% da área total. Você pode descobrir A sem conhecer y.
DICA 03
No final, lembre: a ordenada y representa a massa salarial acumulada pelos 90% de menores salários. A pergunta pede a parcela dos 10% de maiores salários.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
DO ÍNDICE PARA AS ÁREAS
A fórmula já está dada. A resolução começa quando você percebe que o número 0,3 determina uma área — não uma porcentagem da resposta.
- INTERPRETARO ponto P tem abscissa 90. Se sua ordenada for y, então y% é a parcela da massa salarial acumulada pelos 90% de funcionários de menor salário. A pergunta não pede y: pede o complementar, 100 − y.
- ESTRUTURARA região A + B é o triângulo sob a diagonal do quadrado 100 × 100. Logo, A + B = 100 · 1002 = 5000. Como AA + B = 0,3, temos imediatamente A = 1500.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAEm vez de calcular B inteiro, observe a região A. Em x = 90, a diagonal de igualdade está em 90 e a curva passa por y; a diferença vertical é 90 − y. A região A é formada por dois triângulos, com bases horizontais 90 e 10.
- CALCULARAssim, A = 90(90 − y)2 + 10(90 − y)2 = 50(90 − y). Igualando a 1500: 50(90 − y) = 1500, então 90 − y = 30 e y = 60. A parcela dos 10% de maiores salários é 100 − 60 = 40%.
- CONFERIRCom y = 60, a área A vale 50 · 30 = 1500. Como A + B = 5000, o índice é 15005000 = 0,3. E 40% responde exatamente à grandeza pedida. Alternativa A.
SEGUNDO CAMINHO
CALCULAR A REGIÃO B
Também dá para calcular B diretamente. A área sob a curva é a soma de um triângulo de base 90 e altura y com um trapézio de largura 10 e bases y e 100: B = 45y + 5(y + 100) = 50y + 500. Como B = 5000 − 1500 = 3500, vem 50y + 500 = 3500, logo y = 60 e a resposta é novamente 40%.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu começaria por A + B = 5000. Como o Gini é 0,3, já sei que A = 1500.
2. Depois usaria o “vão” em x = 90: ele mede 90 − y. As duas partes de A formam dois triângulos e somam 50(90 − y).
3. Achou y = 60? Ainda não marque. O enunciado pede os 10% de maior salário: 100 − 60 = 40%.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro clássico é chegar corretamente a y = 60% e marcar 60%. Esse valor pertence aos 90% de funcionários de menor salário. O comando pede a parcela dos 10% de maior salário, portanto é preciso calcular o complementar: 100% − 60% = 40%.
DISTRATOR PRINCIPAL
RESOLVER CERTO E RESPONDER A GRANDEZA ERRADA
A alternativa 60% é construída para quem modela as áreas, resolve a equação corretamente e para um passo antes do fim. É um distrator de leitura do comando, não de conta.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
PROCURE A ÁREA TOTAL ANTES DA INCÓGNITA
Quando um índice é definido como razão entre áreas, procure primeiro uma área total fixa. Depois transforme o índice em uma das áreas e só então introduza a incógnita do gráfico.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Problemas de indicadores, gráficos acumulados e áreas sob curvas frequentemente parecem exigir conteúdo novo. Muitas vezes o enunciado já fornece a definição: sua tarefa é traduzir o desenho em objetos geométricos conhecidos e responder a grandeza exata pedida.