DOSSIÊ 900+ · ENEM 2017
Caminhão-cegonha
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa.
A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2017 · Q143
- Acerto geral
- 11% de 1.107 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 5,8% acerta
- Quem tira 800
- 5,0% acerta
- Parâmetro b
- 900+ nem 900 acerta a metade
Sem posição: nem quem tirou 900 acertou metade. Microdados do ENEM 2017 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO DE CONTAGEM
O CAMINHÃO É SÓ O CONTEXTO. O MODELO É UMA DISTRIBUIÇÃO.
Como a posição dos carrinhos não cria um novo modelo, importa apenas quantos carrinhos há de cada cor. A condição “pelo menos um de cada” transforma o problema em uma composição inteira.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
A imagem sugere posições e arranjos, mas o próprio enunciado elimina a posição como critério de distinção.
Um modelo é determinado apenas pela quádrupla de quantidades das quatro cores, todas positivas e somando 10.
4¹⁰ ou permutações contam posições distintas, exatamente o que o enunciado diz para ignorar.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 143
- Gabarito
- B
- Conteúdo
- Análise combinatória
- Subconteúdo
- Combinação com repetição · soluções inteiras positivas · stars and bars
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Restrição de positividade · equivalência de modelos
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- O desenho do caminhão e dos dez carrinhos induz naturalmente a pensar em posições, mas o enunciado avisa que trocar carrinhos de lugar não cria um novo modelo.
- A condição pelo menos um de cada cor exige soluções inteiras positivas, e não simplesmente distribuir dez unidades livremente entre quatro categorias.
- A resposta aparece na forma de uma combinação. O aluno precisa reconhecer a estrutura de combinação com repetição antes de tentar encaixar as alternativas.
ANTES DA CONTA
Esqueça a posição dos dez carrinhos. Chame de a, b, c e d as quantidades pintadas de cada cor. O problema vira a+b+c+d=10, com a,b,c,d ≥ 1. Reserve primeiro um carrinho para cada cor.
só as quantidades por cor importam
pelo menos um carrinho de cada cor
depois de reservar um de cada cor
Quando a posição não diferencia os modelos, pare de pensar em “qual carrinho recebe qual cor” e passe a pensar em “quantos carrinhos de cada cor”.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Se cada cor precisa aparecer pelo menos uma vez, separe 4 dos 10 carrinhos: um para cada cor. Quantos ainda faltam distribuir?
DICA 02
Depois da reserva, sobram 6 carrinhos. Agora eles podem ser distribuídos livremente entre as quatro cores, inclusive zero extra para alguma delas.
DICA 03
Distribuir 6 objetos indistinguíveis entre 4 categorias equivale a organizar 6 estrelas e 3 separadores. Quantas posições há no total?
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
TROQUE POSIÇÕES POR QUANTIDADES
A questão fica muito menor quando você usa a frase “mudança de posição não gera novo modelo” como instrução matemática.
- INTERPRETARComo mudar a posição dos carrinhos não cria um novo modelo, não importa qual carrinho específico recebe cada cor. Importa apenas a quantidade de carrinhos de cada cor.
- ESTRUTURARSe a, b, c, d são as quantidades das quatro cores, temos a+b+c+d=10 e todas devem ser pelo menos 1.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAReserve 1 carrinho para cada cor. Isso consome 4 carrinhos e garante a condição mínima. Restam 6 carrinhos para distribuir sem restrição entre as quatro cores.
- CALCULARAgora buscamos soluções não negativas de x₁+x₂+x₃+x₄=6. Pelo método de estrelas e barras, usamos 6 estrelas + 3 barras = 9 posições. Basta escolher as 3 posições das barras: C(9,3).
- CONFERIRCada distribuição dos 6 extras determina uma única quádrupla positiva de quantidades que soma 10, e duas quádruplas diferentes produzem modelos diferentes. Portanto, a alternativa correta é B: C(9,3).
SEGUNDO CAMINHO
FÓRMULA DIRETA DAS COMPOSIÇÕES POSITIVAS
Também é possível aplicar diretamente a fórmula das soluções inteiras positivas de a+b+c+d=10: para n unidades distribuídas em k categorias positivas, o número de soluções é C(n−1,k−1). Aqui: C(10−1,4−1)=C(9,3). O método de reservar um de cada cor, porém, costuma ser mais transparente em prova.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
1. Eu riscaria mentalmente a posição dos carrinhos: o enunciado diz que ela não importa.
2. Reservaria 1 de cada cor. Sobram 6.
3. Distribuir 6 extras entre 4 cores → 6 estrelas + 3 barras → C(9,3). Alternativa B.
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
O erro clássico é calcular 4¹⁰, como se cada uma das dez posições pudesse receber qualquer cor e toda troca de posição criasse um novo modelo. O enunciado proíbe exatamente essa interpretação: a posição não distingue modelos.
DISTRATOR PRINCIPAL
USAR OS NÚMEROS CERTOS NA ESTRUTURA ERRADA
C(10,4) parece plausível porque usa os números principais do enunciado, mas não representa a restrição “pelo menos um de cada cor”. Já as potências contam atribuições por posição e ignoram a equivalência entre permutações dos carrinhos.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
POSIÇÃO IRRELEVANTE → COMPOSIÇÃO INTEIRA
Se objetos do mesmo tipo são distribuídos entre categorias e a ordem/posição não importa, procure uma equação do tipo x₁+⋯+xₖ=n. A frase “pelo menos um” costuma indicar soluções positivas; “pode não receber nenhum” indica soluções não negativas.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Stars and bars aparece em distribuição de bolas em caixas, sabores em caixas de bombom, quantidades de moedas, lotes por categoria e qualquer situação em que se contam quantidades, não sequências. O passo decisivo é decidir se as variáveis podem ser zero ou precisam ser positivas.