DOSSIÊ 900+ · ENEM 2017
Empréstimo / logaritmos
Uma leitura completa da questão: o que a torna difícil, onde está a decisão estratégica e como transformar esse raciocínio em repertório para outras questões.
QUESTÃO OFICIAL
ANTES DA ANÁLISE, FAÇA A QUESTÃO.
Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação P é calculado em função do número de prestações n segundo a fórmula
P = 5 000 · 1,013n · 0,0131,013n − 1
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
Transcrição editorial auditada a partir da prova oficial do ENEM.
DADOS DO INEP · ENEM 2017 · Q137
- Acerto geral
- 15% de 1.107 mil no caderno azul
- Quem tira 700
- 21% acerta
- Quem tira 800
- 27% acerta
- Parâmetro b
- 900+ nem 900 acerta a metade
Sem posição: nem quem tirou 900 acertou metade. Microdados do ENEM 2017 (Inep). Retrato da prova aplicada, não previsão de nota.
APOIO VISUAL
ISOLE A POTÊNCIA ANTES DE USAR LOGARITMO.
A questão parece ser de fórmula financeira, mas a decisão está em transformar P ≤ 400 em uma condição simples para 1,013 elevado a n.
MAPA DA QUESTÃO
ANTES DE RESOLVER, ENTENDA O TERRENO.
A potência aparece no numerador e no denominador e dá a impressão de exigir muita álgebra.
Depois disso, o logaritmo entra apenas para trazer n para fora do expoente.
O logaritmo deve ser a última ferramenta, não a primeira.
IDENTIFICAÇÃO
A QUESTÃO EM UMA LINHA
- Caderno
- Caderno 7 · Azul
- Questão
- 137
- Gabarito
- D
- Conteúdo
- Logaritmos · Matemática financeira
- Subconteúdo
- Inequação exponencial · isolamento da potência · logaritmos
DIFICULDADE
ONDE A DIFICULDADE REALMENTE MORA
Como ler o b? É o parâmetro de dificuldade que o Inep calcula para cada questão, posto na escala da nota de Matemática. Perto dessa nota, um aluno passa a ter boa chance de acertar. Quanto maior o b, mais alta a nota de quem costuma acertar. A causa dominante, ao lado, é a leitura do Prof. Rafael sobre por que a questão é difícil; ela não entra na posição.
Também pesa: Fórmula financeira · inequação exponencial · logaritmos
POR QUE É DIFÍCIL?
A CONTA NÃO É O PRIMEIRO PROBLEMA
- A questão mistura contexto financeiro, uma fórmula pronta e uma restrição de orçamento. O aluno precisa converter a frase “no máximo R$ 400” em uma inequação.
- A potência 1,013 elevado a n aparece em dois lugares. Se a álgebra não for organizada antes do logaritmo, a solução fica longa e frágil.
- O valor obtido para n não é inteiro. A resposta exige interpretar o resultado como número mínimo de prestações, portanto arredondar para cima.
ANTES DA CONTA
Comece pela condição econômica, não pelo logaritmo: P ≤ 400. Substitua a fórmula, simplifique 5 000 · 0,013 = 65 e isole a potência 1,013n.
a prestação não pode ultrapassar o orçamento
reduz a fórmula antes da inequação
é isso que precisa ser isolado
A fórmula é grande, mas a incógnita só aparece dentro da mesma potência. Isole essa potência; só depois use logaritmo.
DICAS PROGRESSIVAS
ABRA SÓ O QUE PRECISAR
DICA 01
Substitua P por 400 e faça primeiro o produto 5 000 · 0,013.
DICA 02
Chame mentalmente 1,013n de x. A inequação vira 65xx − 1 ≤ 400, com x > 1.
DICA 03
Depois de obter 1,013n ≥ 400335, aplique log dos dois lados e use exatamente as aproximações fornecidas.
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
RESOLUÇÃO PADRÃO OURO
A solução mais eficiente separa três momentos: restrição financeira, isolamento da potência e uso final do logaritmo.
- INTERPRETAR“Dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais” significa P ≤ 400. Estamos buscando o menor n inteiro que satisfaz essa condição.
- ESTRUTURARNa fórmula, 5 000 · 0,013 = 65. Definindo x = 1,013n, com x > 1, a condição fica 65xx − 1 ≤ 400.
- ESCOLHER ESTRATÉGIAIsole x antes de usar log: 65x ≤ 400x − 400, então 400 ≤ 335x. Logo, 1,013n ≥ 400335.
- CALCULARAplicando log: n · log(1,013) ≥ log(400) − log(335). Com os valores dados: 0,005n ≥ 2,602 − 2,525 = 0,077. Portanto, n ≥ 15,4. O menor inteiro é n = 16. Usando as aproximações fornecidas pelo próprio enunciado, obtemos n ≥ 15,4; portanto, o menor inteiro admissível é n = 16.
- CONFERIRComo n representa quantidade de prestações, 15,4 não é uma opção operacional. Quinze prestações ficam abaixo do limite mínimo algébrico; dezesseis é o primeiro inteiro que atende a condição. Alternativa D.
SEGUNDO CAMINHO
SEGUNDO CAMINHO · TRANSFORME A FRAÇÃO PRIMEIRO
Escreva a inequação como 65 · 1,013n ≤ 400(1,013n − 1). Ao expandir o lado direito, os termos com a potência ficam no mesmo membro e a expressão cai diretamente em 335 · 1,013n ≥ 400. É o mesmo raciocínio sem introduzir a variável auxiliar x.
NA PROVA EU FARIA ASSIM
VOCÊ FEZ 90% DA QUESTÃO — E ERROU AQUI.
DISTRATOR PRINCIPAL
DISTRATOR PRINCIPAL
C · 15 parcelas. Surge quando o aluno obtém n ≈ 15,4 e arredonda para o inteiro mais próximo. Aqui não se quer aproximação: quer-se o menor inteiro que satisfaz n ≥ 15,4.
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
COMO RECONHECER UMA PARECIDA?
Quando uma fórmula financeira contém a incógnita no expoente e o enunciado fornece valores de logaritmos, procure primeiro isolar a potência. O logaritmo normalmente entra apenas na etapa final.
APRENDIZADO TRANSFERÍVEL
O QUE LEVAR PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Em problemas exponenciais, uma boa estratégia é reduzir toda a expressão a uma potência do tipo a elevado a n ≥ k ou a elevado a n ≤ k. Depois disso, o logaritmo vira uma ferramenta mecânica para liberar o expoente.