H11 · Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano
Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.Competência 3: Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Desenho, maquete, mapa, réplica. Você usa a escala para ir do desenho ao real e voltar, sem esquecer que área e volume não crescem do mesmo jeito que o comprimento.
A escala está comparando comprimentos, áreas ou volumes, e em que unidade?
Como reconhecer no enunciado
- A palavra escala aparece no enunciado de 20 das 21 questões de H11.
- Todas as 21 são de razão e proporção no Banco. O que muda é a grandeza: comprimento, área ou volume.
- Quase sempre tem conversão de unidade junto: o desenho em centímetro, o real em metro ou quilômetro.
Uma questão lida com a H11
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
Lendo com a H11
Um desenho na lousa representa uma situação real (a corrida). Achar a escala entre os dois é exatamente utilizar a noção de escala na leitura de uma representação.
Resolução completa no padrão RT
Primeiro descubra quanto o atleta correu: dez vezes 42 km. Depois passe para centímetros e compare com os 60 cm da lousa.
O que a questão quer de verdade: quantas vezes o percurso real é maior que os 60 cm do desenho.
• Percurso real: 10 \cdot 42 = 420 km.
• Desenho: 60 cm.
Converter 420 km para centímetros e dividir pelos 60 cm.
A armadilha: usar só os 42 km do maratonista grego, esquecendo o "dez vezes mais": 4\,200\,000 \div 60 = 70\,000, escala 1:70 000 (alternativa C).
420 \text{ km} = 420 \cdot 100\,000 \text{ cm} = 42\,000\,000 \text{ cm}
\frac{60}{42\,000\,000} = \frac{1}{700\,000}
Na escala 1:700 000, cada centímetro vale 7 km; 60 \cdot 7 = 420 km ✓.
Leve para outras questões: em escala, coloque tudo na mesma unidade antes de dividir; o erro mais comum é na conversão.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm de altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundidade. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado na escala 1 : 8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação. No momento da impressão, o profissional percebe que o desenho não caberia na folha de papel que costumava usar. Para resolver o problema, configurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%.
A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso para a apresentação serão, respectivamente,
Escala 1:8 e depois uma redução de 20% na impressão. O aluno usa a noção de escala duas vezes seguidas, e os fatores se multiplicam. 39% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Faça em duas etapas. Primeiro a escala: divida cada medida por 8. Depois a redução de 20%: fique com 80% do que deu.
O que a questão quer de verdade: as três medidas reais passadas para a escala 1 : 8 e depois reduzidas em 20%.
- Medidas reais: 220, 120 e 50 cm.
- Escala do desenho: 1 : 8.
- Impressão: redução de 20%.
Dividir por 8 e multiplicar por 0,8, o que dá o mesmo que dividir por 10.
A armadilha: parar depois da escala e esquecer a redução da impressora, ficando com 27,50, 15,00 e 6,25 (alternativa B).
\frac{220}{8} = 27{,}5 \;\Rightarrow\; 27{,}5 \cdot 0{,}8 = 22
\frac{120}{8} \cdot 0{,}8 = 15 \cdot 0{,}8 = 12 \qquad \frac{50}{8} \cdot 0{,}8 = 6{,}25 \cdot 0{,}8 = 5
\tfrac{1}{8} \cdot 0{,}8 = \tfrac{1}{10}: o desenho impresso fica na escala 1 : 10, e 220 \div 10 = 22 ✓.
Leve para outras questões: escala e redução percentual se combinam multiplicando os fatores; aqui, um oitavo vezes 0,8 dá um décimo.
O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
A escala é de comprimento e a pergunta é de volume. Quem não percebe que o volume cresce 100³ vezes erra. Só 9% acertaram, uma das menores taxas de acerto da base.
Resolução completa no padrão RT
Na escala 1 : 100, cada medida real é 100 vezes a do projeto. Passe as três medidas para o tamanho real e depois multiplique.
O que a questão quer de verdade: o volume do armário real, com cada medida 100 vezes maior que no projeto.
- Projeto: 3 cm, 1 cm, 2 cm.
- Escala 1 : 100.
Converter as medidas e calcular o volume.
A armadilha: multiplicar o volume do projeto (6 cm³) por 100 só uma vez, chegando a 600 (alternativa B).
300 \cdot 100 \cdot 200 = 6\,000\,000\ \text{cm}^3
Volume do projeto: 6 cm³; vezes 100^3 = 1\,000\,000: 6\,000\,000 ✓. São 6 m³, um armário de 3 m × 1 m × 2 m ✓.
Leve para outras questões: escala k multiplica comprimentos por k, áreas por k² e volumes por k³.
Usar a escala do comprimento numa área ou num volume. Na 2014 Q156 quem multiplica o volume do projeto por 100 uma vez só marca 600 (B). Só 9% acertaram.
Onde a H11 mora no Banco
Todas as questões de H11, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2013 | Q174 | Escala e razão entre áreas (mapas) | Média | – | 14% |
| 2025 | Q148 | Escalas | Fácil | 639 | 36% |
| 2015 | Q160 | Escala e proporção | Fácil–média | 643 | 28% |
| 2012 | Q145 | Escala (leitura em malha quadriculada) | Média | 667 | 26% |
| 2025 | Q156 | Escalas | Fácil | 680 | 27% |
| 2021 | Q153 | Escala | Fácil | 699 | 36% |
| 2023 | Q149 | Escala | Média | 702 | 27% |
| 2016 | Q137 | Escala e porcentagem (redução) | Fácil–média | 712 | 40% |
| 2014 | Q156 | Escala e volume | Fácil–média | 729 | 9% |
| 2018 | Q157 | Escala e conversão de unidades | Fácil–média | 757 | 17% |
| 2012 | Q136 | Escala (conversão de unidades) | Fácil–média | 787 | 21% |
| 2022 | Q161 | Escala e área | Média | 802 | 27% |
| 2019 | Q158 | Escala e volume | Média–difícil | 812 | 22% |
| 2020 | Q145 | Escala e semelhança (miniatura) | Média–difícil | 824 | 19% |
| 2024 | Q151 | Escalas e razão entre áreas | Média | 825 | 13% |
| 2014 | Q169 | Escala e proporção (ampliação e redução) | Média | 828 | 21% |
| 2017 | Q158 | Escala e razão entre volumes | Média | 844 | 22% |
| 2013 | Q143 | Escala e conversão de unidades (trajeto na malha) | Média | 857 | 16% |
| 2022 | Q139 | Escala | Fácil–média | 871 | 24% |
| 2018 | Q169 | Escala e inequações | Média–difícil | 892 | 25% |
| 2020 | Q138 | Escala e volume | Média | 933 | 16% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Desenhe um quadrado de 1 cm e diga que a escala é 1:100. Pergunte o lado, a área e, se fosse um cubo, o volume reais (4 min). Projete a 2014 Q156 e mostre a alternativa B (2 min). Feche com a 2012 Q136: tudo na mesma unidade antes de dividir (4 min).