H14 · Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.Competência 3: Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Alguém vai construir, encher ou reprogramar alguma coisa (cisterna, piscina, pílula, reservatório) para atingir uma meta. Você usa área e volume para dizer quanto mudar.
O que vai mudar, o que fica fixo e qual é a meta?
Como reconhecer no enunciado
- Em 11 das 19 questões de H14 o enunciado usa deve, deverá, precisa, objetivo ou necessário.
- Geometria espacial é o conteúdo de 11 das 19: quase sempre volume de cilindro ou paralelepípedo.
- A pergunta pede o tamanho da mudança: "qual deve ser o aumento no raio", "a redução do volume", "a altura interna mínima".
Uma questão lida com a H14
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?
Lendo com a H14
O condomínio decidiu trocar a cisterna para atingir 81 m³. Avaliar quanto a proposta muda o raio usa volume do cilindro. Proposta de intervenção mais grandezas geométricas é a H14.
Resolução completa no padrão RT
Use o volume do cilindro com altura 3 e volume 81 para achar o novo raio. Compare com o raio atual, que é metade do diâmetro.
O que a questão quer de verdade: o raio da nova cisterna e quanto ele cresceu em relação ao raio atual.
- Atual: altura 3 m, diâmetro 2 m (raio 1 m).
- Nova: altura 3 m, volume 81 m³.
- π = 3.
Achar o raio novo pela fórmula do volume e subtrair o raio antigo.
A armadilha: comparar o raio novo com o diâmetro antigo e responder 3 − 2 = 1,0 (alternativa B). Outra é subtrair os quadrados dos raios, 9 − 1 = 8,0 (alternativa E).
81 = 3 \cdot r^2 \cdot 3 \;\Rightarrow\; r^2 = 9 \;\Rightarrow\; r = 3\ \text{m}
\text{aumento} = 3 - 1 = 2{,}0\ \text{m}
3 \cdot 3^2 \cdot 3 = 81\ \text{m}^3 ✓.
Leve para outras questões: quando o enunciado dá o diâmetro, troque logo para o raio antes de usar qualquer fórmula.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é
A empresa precisa decidir quanto produto pôr na piscina. A intervenção depende do volume real de água, e não da piscina cheia. 30% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
A água não enche a piscina toda: fica 50 cm abaixo da borda. Calcule o volume de água, passe para litros e use 1,5 mL a cada 1 000 L.
O que a questão quer de verdade: quanto produto vai na água que está de fato na piscina.
- Piscina: 3 m × 5 m, profundidade 1,7 m.
- Água 50 cm abaixo da borda.
- Dose: 1,5 mL a cada 1 000 L.
Calcular o volume de água e aplicar a proporção.
A armadilha: somar os 50 cm em vez de tirar, com 2,2 m de água, e chegar a 49,50 mL (alternativa E). A lâmina d'água fica abaixo da borda, então a altura da água é menor que 1,7 m.
\text{altura da água} = 1{,}7 - 0{,}5 = 1{,}2 \text{ m}
V = 3 \cdot 5 \cdot 1{,}2 = 18 \text{ m}^3 = 18\,000 \text{ L}
18 \cdot 1{,}5 = 27 \text{ mL}
27 \div 18 = 1{,}5 mL por metro cúbico, ou seja, por 1 000 L ✓.
Leve para outras questões: em recipientes que não estão cheios, use a altura do líquido, não a altura do recipiente.
Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para \pi.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
Reprogramar a máquina para pílulas menores muda o volume de um cilindro com duas semiesferas. Só 9,4% acertaram, uma das menores taxas da base.
Resolução completa no padrão RT
As duas semiesferas juntas formam uma esfera inteira. Calcule o volume da pílula com raio 5 e com raio 4, sempre com cilindro de 10 mm, e subtraia.
O que a questão quer de verdade: a diferença entre o volume da pílula de raio 5 mm e o da pílula de raio 4 mm.
• Pílula: cilindro de 10 mm de comprimento + duas semiesferas.
• Raio antes: 5 mm. Raio depois: 4 mm.
• \pi = 3.
Montar a fórmula do volume da pílula e aplicar nos dois raios.
A armadilha: usar a área da esfera, 4\pi r^2, no lugar do volume. Dá 270 + 108 = 378 (alternativa D).
V = \pi r^2 \cdot 10 + \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 30r^2 + 4r^3
r = 5:\; 750 + 500 = 1\,250\ \text{mm}^3
r = 4:\; 480 + 256 = 736\ \text{mm}^3
1\,250 - 736 = 514\ \text{mm}^3
Por partes: o cilindro perde 30 \cdot (25 - 16) = 270 e a esfera perde 4 \cdot (125 - 64) = 244; 270 + 244 = 514 ✓.
Leve para outras questões: sólidos compostos se resolvem somando as partes; duas semiesferas iguais são sempre uma esfera.
Calcular certo e responder outra coisa. Na 2015 Q146 quem compara o raio novo com o diâmetro antigo marca 1,0 (B). Na 2017 Q144 quem soma os 50 cm em vez de tirar marca 49,50 (E).
Onde a H14 mora no Banco
Todas as questões de H14, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | Q145 | Razão e proporção (engrenagens) | Média–difícil | – | 15% |
| 2014 | Q178 | Teorema de Pitágoras e proporção (células solares) | Média | 696 | 21% |
| 2020 | Q168 | Volume do paralelepípedo | Fácil–média | 708 | 26% |
| 2017 | Q144 | Volume do paralelepípedo e proporção | Fácil–média | 719 | 31% |
| 2020 | Q172 | Teorema de Pitágoras (cone) | Fácil–média | 730 | 24% |
| 2012 | Q159 | Áreas de retângulo e trapézio (planta baixa) | Média | 748 | 27% |
| 2015 | Q146 | Volume do cilindro | Fácil–média | 750 | 27% |
| 2021 | Q167 | Volume do cilindro | Média | 752 | 28% |
| 2015 | Q141 | Volume de paralelepípedo e porcentagem (aumento de 25%) | Média | 761 | 19% |
| 2025 | Q170 | Volume de prismas e unidades de capacidade | Média | 762 | 33% |
| 2024 | Q149 | Volume de cilindro e cubo | Média | 764 | 20% |
| 2013 | Q157 | Volume do cilindro e inequação (ilha na piscina) | Média | 769 | 19% |
| 2019 | Q170 | Proporcionalidade e conversão de unidades | Fácil–média | 780 | 23% |
| 2018 | Q149 | Porcentagem e inclinação (razão) | Média | 801 | 31% |
| 2023 | Q142 | Volume do cilindro e consumo | Média | 814 | 21% |
| 2022 | Q153 | Volume do cone e semelhança | Média | 817 | 24% |
| 2016 | Q143 | Áreas e equação do 2º grau | Média–difícil | 820 | 18% |
| 2014 | Q167 | Volume do cilindro e da esfera (pílula) | Média | 862 | 9% |
| 2020 | Q173 | Trigonometria no triângulo retângulo | Média–difícil | 892 | 19% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Use a 2015 Q146. Peça o quadro muda, fica fixo e meta antes da conta (3 min). Pergunte: a resposta é o raio novo ou o aumento? (2 min). Feche com a 2017 Q144: qual altura entra no volume, a da piscina ou a da água? (5 min).