H15 · Identificar a relação de dependência entre grandezas
Identificar a relação de dependência entre grandezas.Competência 4: Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Duas grandezas andam juntas (altura da água e tempo, salário e vendas, custo e distância). Você identifica como uma depende da outra e reconhece o gráfico ou a fórmula que mostra isso.
Quando uma grandeza muda, a outra muda como: mais rápido, mais devagar, aos saltos ou sempre igual?
Como reconhecer no enunciado
- Em 15 das 18 questões de H15 as alternativas são gráficos. A pergunta é "o gráfico que melhor representa".
- O enunciado traz uma regra em palavras: "a partir do 101º produto", "a vazão é constante", "inversamente proporcional ao quadrado da distância".
- Funções é o conteúdo de 8 das 18; o resto se espalha por estatística, trigonometria e geometria.
Uma questão lida com a H15
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes às da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?
Lendo com a H15
A pergunta é como uma grandeza (altura) depende da outra (tempo), e a resposta é um esboço de gráfico. Identificar a relação de dependência entre grandezas é a H15.
Resolução completa no padrão RT
Com vazão constante, a altura sobe devagar onde a garrafa é larga e rápido onde é estreita. Divida a garrafa em duas partes: o corpo e o ombro.
O que a questão quer de verdade: o formato do gráfico altura por tempo enquanto a garrafa enche.
- Corpo: cilíndrico, largura constante.
- Ombro: largura diminuindo até o nível de envasamento.
Associar cada parte da garrafa a um trecho do gráfico.
A armadilha: ver só o estreitamento e escolher uma curva que acelera desde o início (alternativa D), ou só o corpo e escolher a reta (alternativa A). A garrafa tem as duas partes: primeiro reta, depois curva para cima.
- No corpo cilíndrico, cada litro sobe a mesma altura: trecho reto.
- No ombro, a seção fica menor a cada centímetro: o mesmo volume sobe mais altura, e a inclinação aumenta.
O gráfico é uma reta que, no final, se curva para cima.
As alternativas C e E têm inclinação diminuindo, o que seria uma garrafa que se alarga para cima. Não é o caso.
Leve para outras questões: em enchimento com vazão constante, recipiente estreito significa gráfico inclinado; largura constante significa reta.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de \text{R\$ 750,00}, mais uma comissão de \text{R\$ 3,00} para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de \text{R\$ 9,00} para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido.
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é
Salário depende do número de produtos, com uma regra que muda no 101º. Reconhecer o gráfico com duas inclinações é identificar a dependência. 47% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
Calcule o salário com 0, 100 e 200 produtos. Depois de 100, cada produto vale 9 reais, então a reta fica mais inclinada.
O que a questão quer de verdade: o gráfico que começa em 750, sobe devagar até 100 produtos e depois sobe mais rápido.
- Fixo: 750 reais.
- Até 100 produtos: 3 reais cada.
- A partir do 101º: 9 reais cada.
Calcular três pontos e comparar com os gráficos.
A armadilha: usar a comissão de 3 reais para todos os produtos, desenhando uma só reta até 750 + 3 \cdot 200 = 1\,350 (alternativa A).
S(0) = 750
S(100) = 750 + 3 \cdot 100 = 1\,050
S(200) = 1\,050 + 9 \cdot 100 = 1\,950
Inclinação de 0 a 100: \tfrac{300}{100} = 3; de 100 a 200: \tfrac{900}{100} = 9 ✓. Só o gráfico com o segundo trecho mais inclinado passa por 1 050 e 1 950.
Leve para outras questões: em funções por partes, calcule o valor nos pontos de troca; eles decidem o gráfico.
Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento.
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é
Custo depende da área e da distância ao mesmo tempo, uma direta e outra inversamente ao quadrado. As alternativas são fórmulas. Só 24% acertaram.
Resolução completa no padrão RT
O volume do revestimento é área vezes espessura. Escreva a espessura como k dividido por D ao quadrado e use o caso conhecido (A = 9, D = 3, custo 500) para achar a constante.
O que a questão quer de verdade: a fórmula do custo em função de A e D, calibrada pelo caso de 9 m² a 3 m.
• Espessura: e = \dfrac{k}{D^2}.
• Volume: A \cdot e.
• Custo: proporcional ao volume, logo C = c \cdot \dfrac{A}{D^2}.
• Caso conhecido: A = 9, D = 3, C = 500.
Montar a forma geral e achar a constante pelo caso dado.
A armadilha: pôr D^2 no numerador, como se a espessura crescesse com a distância (alternativas C, D e E). Quanto mais longe a fonte, mais fino o revestimento e mais barato.
C = c \cdot \frac{A}{D^2} \qquad 500 = c \cdot \frac{9}{3^2} = c \;\Rightarrow\; c = 500
C = \frac{500 \cdot A}{D^2}
Com A = 9 e D = 3: \tfrac{500 \cdot 9}{9} = 500 ✓. Dobrando a área, o custo dobra; dobrando a distância, o custo cai para um quarto ✓.
Leve para outras questões: em proporcionalidades combinadas, escreva tudo numa só fórmula com uma constante e use o dado numérico para achá-la.
Olhar só uma parte da história. Na 2020 Q166 quem vê só o gargalo marca uma curva que acelera desde o começo (D), e quem vê só o corpo marca a reta (A). Na 2012 Q156 quem esquece a mudança da comissão marca uma reta só (A).
Onde a H15 mora no Banco
Todas as questões de H15, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2015 | Q176 | Função definida por partes (gráfico) | Fácil–média | 448 | 45% |
| 2012 | Q156 | Função afim por partes (gráfico) | Média | 582 | 47% |
| 2019 | Q139 | Função afim por partes (leitura de gráfico) | Fácil–média | 658 | 31% |
| 2024 | Q168 | Funções trigonométricas: amplitude | Fácil | 663 | 36% |
| 2021 | Q162 | Função definida por partes (gráfico) | Média | 666 | 35% |
| 2023 | Q177 | Funções periódicas (roda-gigante) | Fácil–média | 698 | 36% |
| 2013 | Q154 | Leitura de gráficos e proporcionalidade inversa (gravitação) | Média | 710 | 23% |
| 2012 | Q170 | Função quadrática (gráfico de grandeza proporcional ao quadrado) | Média | 740 | 33% |
| 2013 | Q156 | Área do quadrado e semelhança (placas) | Fácil–média | 746 | 17% |
| 2020 | Q166 | Funções (leitura de gráfico, taxa de variação) | Média | 764 | 26% |
| 2021 | Q161 | Função quadrática (máximo e domínio discreto) | Média–difícil | 773 | 20% |
| 2017 | Q152 | Funções (leitura e interpretação de gráficos) | Média | 782 | 38% |
| 2025 | Q169 | Leitura de tabela, gráficos de linhas e unidades de massa | Média | 784 | 18% |
| 2022 | Q148 | Potências e proporcionalidade (fórmula física) | Média | 792 | 25% |
| 2024 | Q161 | Leitura de gráficos e volume de prismas | Média–difícil | 810 | 30% |
| 2016 | Q150 | Grandezas proporcionais (direta e inversa) | Média–difícil | 815 | 24% |
| 2023 | Q178 | Leitura de gráficos (volume acumulado) | Fácil–média | 869 | 26% |
| 2018 | Q173 | Geometria plana (mediana relativa à hipotenusa) e leitura de gráficos | Difícil | 1001 | 21% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Desenhe três copos (cilindro, cone de boca larga, cone de boca estreita) e peça o gráfico altura × tempo de cada um enchendo (5 min). Projete a 2020 Q166 e peça para dividir a garrafa em partes antes de olhar as alternativas (3 min). Feche: quanto mais estreito, mais rápido a altura sobe (2 min).