H16 · Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais
Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.Competência 4: Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Regra de três com cabeça. Você decide se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e, quando várias mudam ao mesmo tempo, reduz tudo a uma unidade (uma pessoa, uma hora, um quilo).
Essas grandezas crescem juntas ou uma cresce enquanto a outra diminui?
Como reconhecer no enunciado
- 18 das 21 questões de H16 são de razão, proporção e porcentagem no Banco.
- O enunciado traz "para cada", "por dia", "por hora" ou "inversamente proporcional" em todas.
- Muitas misturam duas ou três grandezas que mudam juntas: funcionários e horas, grupos e pessoas, vazão e tempo.
Uma questão lida com a H16
Tente antes de ler a explicação. Depois que você marcar, aparece a leitura com a matriz.
Uma fábrica de tijolos ecológicos com 3 funcionários, cada um trabalhando 6 horas diárias, produz 720 unidades por dia. Para atender ao crescimento da demanda por esse tipo de tijolo, essa fábrica passou a ter 5 funcionários, cada um trabalhando 9 horas por dia, aumentando, assim, sua capacidade de produção. Todos os funcionários produzem igual quantidade de tijolos a cada hora, independentemente de trabalharem 6 ou 9 horas diárias.
O número de tijolos fabricados diariamente após o aumento da capacidade de produção é
Lendo com a H16
Produção, funcionários e horas variam juntos, todos em proporção direta. Resolver a situação usando essa variação é a definição da H16.
Resolução completa no padrão RT
Quantos tijolos um funcionário faz em uma hora?
O que a questão quer de verdade: quanto a fábrica produz quando mudam, ao mesmo tempo, o número de funcionários e as horas de cada um.
Antes: 3 funcionários × 6 horas → 720 tijolos. Depois: 5 funcionários × 9 horas → ?
Achar quantos tijolos sai de uma pessoa em uma hora e aplicar na situação nova.
A armadilha: ajustar só uma das duas mudanças, só os funcionários ou só as horas.
3 \times 6 = 18 \text{ horas-funcionário} \;\Rightarrow\; \frac{720}{18} = 40 \text{ tijolos por hora-funcionário}
5 \times 9 = 45 \text{ horas-funcionário} \;\Rightarrow\; 45 \times 40 = 1\,800
As horas-funcionário passaram de 18 para 45, ou seja, 2,5 vezes. E 720 \times 2{,}5 = 1\,800 ✓.
De onde vêm as erradas: ajustando só os funcionários, 720 \times \tfrac{5}{3} = 1\,200 (C). Ajustando só as horas, 720 \times \tfrac{9}{6} = 1\,080 (B).
Leve para outras questões: quando várias coisas mudam juntas, reduza tudo a uma unidade (uma pessoa, uma hora) e reconstrua a situação nova.
Mais duas, da mais fácil à mais difícil
Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
5 gotas para cada 2 kg: proporção direta entre dose e massa. É a regra de três mais limpa da base, com 65% de acerto.
Resolução completa no padrão RT
Quantos grupos de 5 gotas existem em 30 gotas? Cada grupo corresponde a 2 kg.
O que a questão quer de verdade: a massa que corresponde a 30 gotas, sabendo que 5 gotas valem 2 kg.
- 5 gotas para cada 2 kg.
- Dose dada: 30 gotas.
Regra de três direta.
A armadilha: multiplicar em vez de dividir, \tfrac{30 \cdot 5}{2} = 75 (alternativa E), invertendo a razão entre gotas e massa.
\frac{30}{5} = 6 \text{ grupos} \;\Rightarrow\; 6 \cdot 2 = 12 \text{ kg}
12 kg são 6 vezes 2 kg, que pedem 6 \cdot 5 = 30 gotas ✓.
Leve para outras questões: em "x para cada y", conte quantos blocos de x cabem e multiplique pelos y de cada bloco.
Em uma corrida automobilística, os carros podem fazer paradas nos boxes para efetuar trocas de pneus. Nessas trocas, o trabalho é feito por um grupo de três pessoas em cada pneu. Considere que os grupos iniciam o trabalho no mesmo instante, trabalham à mesma velocidade e cada grupo trabalha em um único pneu. Com os quatro grupos completos, são necessários 4 segundos para que a troca seja efetuada. O tempo gasto por um grupo para trocar um pneu é inversamente proporcional ao número de pessoas trabalhando nele. Em uma dessas paradas, um dos trabalhadores passou mal, não pôde participar da troca e nem foi substituído, de forma que um dos quatro grupos de troca ficou reduzido.
Nessa parada específica, com um dos grupos reduzido, qual foi o tempo gasto, em segundo, para trocar os quatro pneus?
O tempo é inversamente proporcional ao número de pessoas, mas só no grupo que ficou menor. Só 18% acertaram; a maioria trata a equipe toda como um bloco.
Resolução completa no padrão RT
Os quatro pneus são trocados ao mesmo tempo. A troca só termina quando o grupo mais lento termina.
O que a questão quer de verdade: o tempo do grupo que ficou com 2 pessoas, já que ele é o último a terminar.
- Grupo completo: 3 pessoas, 4 segundos.
- Grupo reduzido: 2 pessoas, t segundos.
Usar pessoas × tempo constante no grupo reduzido.
A armadilha: tratar a equipe toda como um só bloco de 12 para 11 pessoas, o que daria 4 \cdot \frac{12}{11} \approx 4{,}4 (alternativa E). Os grupos não se ajudam.
3 \cdot 4 = 2 \cdot t \Rightarrow t = 6
Os três grupos completos terminam em 4 s, mas o carro só sai quando o quarto pneu estiver pronto, aos 6 s. Com um terço a menos de gente, o tempo aumenta em metade: de 4 para 6.
Leve para outras questões: em tarefas paralelas, o tempo total é o da parte mais lenta. Ache a "parte gargalo" antes de fazer contas.
Ajustar só uma das grandezas que mudaram, ou tratar como direta uma relação inversa. Na 2025 Q150 quem ajusta só os funcionários marca 1 200 (C) e quem ajusta só as horas marca 1 080 (B).
Onde a H16 mora no Banco
Todas as questões de H16, da mais fácil para a mais difícil
| Ano | Questão | Conteúdo no Banco | Nível no Banco | Dificuldade TRI | Acerto |
|---|---|---|---|---|---|
| 2012 | Q164 | Regra de três simples (dosagem de medicamento) | Fácil | 446 | 65% |
| 2017 | Q164 | Grandezas diretamente proporcionais (razão) | Fácil | 603 | 43% |
| 2012 | Q173 | Proporcionalidade (economia de água) | Fácil | 614 | 42% |
| 2025 | Q176 | Velocidade média e proporcionalidade | Fácil | 637 | 40% |
| 2015 | Q177 | Leitura de tabela e proporcionalidade (dosagem) | Fácil | 638 | 32% |
| 2013 | Q159 | Razão e proporção (traço do concreto) | Fácil–média | 657 | 32% |
| 2013 | Q148 | Proporcionalidade (capacidade de carga) | Média | 687 | 18% |
| 2019 | Q151 | Divisão proporcional e porcentagem | Média | 687 | 32% |
| 2025 | Q150 | Proporcionalidade (grandezas compostas) | Fácil | 698 | 39% |
| 2024 | Q160 | Vazão, tempo e porcentagem | Fácil–média | 739 | 26% |
| 2020 | Q179 | Grandezas e unidades (densidade superficial) | Média | 740 | 13% |
| 2018 | Q143 | Mistura de ligas (proporção) | Média | 742 | 25% |
| 2016 | Q156 | Grandezas proporcionais (densidade e taxa) | Média | 755 | 15% |
| 2023 | Q147 | Proporção e arredondamento para cima | Fácil–média | 757 | 28% |
| 2014 | Q177 | Volume do cubo e razão de semelhança (vazão) | Média | 766 | 20% |
| 2024 | Q179 | Divisão diretamente proporcional | Média | 768 | 34% |
| 2021 | Q159 | Grandezas inversamente proporcionais | Média | 804 | 18% |
| 2014 | Q139 | Proporcionalidade inversa (volume constante) | Fácil–média | 808 | 12% |
| 2021 | Q158 | Porcentagem (aumentos e reduções sucessivos) | Fácil–média | 809 | 20% |
| 2017 | Q180 | Taxas de variação (vazão e escoamento) | Difícil | 871 | 17% |
| 2019 | Q152 | Grandezas inversamente proporcionais | Média | 876 | 16% |
Dificuldade TRI = parâmetro b do INEP na escala da nota; "–" quando o INEP tirou a questão do cálculo. Acerto = porcentagem de todos os participantes que marcaram a resposta certa.
Pergunte: se dobrar os pedreiros, o muro fica pronto em quanto tempo? E se dobrar o muro? (2 min). Projete a 2025 Q150 e peça a produção de uma pessoa em uma hora (4 min). Feche com a 2021 Q159: qual grupo decide o tempo total? (4 min).