GEOMETRIA ESPACIAL · VISTAS E PROJEÇÕES

A questão sem conta que o ENEM quase sempre traz.

Sombra de uma escultura ao meio-dia, gangorra vista de cima, mão no corrimão de uma escada, robô andando pelas arestas de um cubo, cadeira fechada vista de lado. Esta página ensina projeção ortogonal, trajetórias, caminhos em cubos e vistas de frente, de lado e de cima, com questões reais do ENEM e da UFRGS resolvidas.

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1 · PROJEÇÃO ORTOGONAL

É a sombra com o sol a pino: cada ponto cai em linha reta, perpendicular ao plano.

Para projetar uma figura num plano, leve cada ponto até o plano por uma reta perpendicular a ele. O que importa é a posição de cada parte da figura em relação ao plano:

A parte da figura é…	Na projeção, ela…
paralela ao plano	mantém forma e tamanho
inclinada	encolhe na direção da inclinação
um segmento perpendicular ao plano	vira um ponto
uma figura plana em plano perpendicular	vira um segmento

Exemplo. Uma placa retangular de 2 m × 1 m, de pé no chão, ao meio-dia faz sombra só de uma linha de 2 m. Deitada no chão, a sombra é o próprio retângulo.

Separe em pedaços. Divida a figura em trechos retos ou planos, projete cada um e só depois junte.

Projeção central é outra coisa. Com uma lâmpada no lugar do sol, os raios saem de um ponto, e a sombra muda de tamanho com a distância até a luz.

Quanto a projeção encolhe e o que ela preserva

Um segmento de comprimento \(L\) que faz ângulo \(\theta\) com o plano tem projeção de comprimento

\[L'=L\cos\theta\]

Com \(\theta=0\) (paralelo ao plano), a projeção tem o tamanho real. Com \(\theta=90^\circ\) (perpendicular), vira um ponto. Para uma figura plana inclinada, a área encolhe pelo mesmo fator:

\[\text{área projetada}=\text{área}\cdot\cos\theta\]

Exemplo. Uma placa quadrada de 2 m de lado, com uma aresta no chão e inclinada 60° em relação a ele, faz ao meio-dia uma sombra de \(4\cdot\cos60^\circ=2\ \text{m}^2\): um retângulo de 2 m por 1 m.

\(A\) desce até \(A'\) por uma reta perpendicular ao plano. O triângulo \(AA'B\) é retângulo em \(A'\), então a projeção mede \(L\cos\theta\).

Na projeção ortogonal…	Exemplo
retas paralelas continuam paralelas (ou viram pontos)	um paralelogramo inclinado projeta outro paralelogramo
o ponto médio continua ponto médio	o meio de uma aresta cai no meio da projeção da aresta
comprimentos só se mantêm em segmentos paralelos ao plano	um cabo esticado entre postes de alturas diferentes aparece encurtado na vista de cima
ângulos podem mudar	um quadrado inclinado vira um retângulo, e um losango pode virar um quadrado

ENEM 2019 · Questão 136 Fácil–média

A sombra da escultura PINE

Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.

Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir.

Escultura com as letras P, I, N e E em três dimensões, de pé, lado a lado e igualmente espaçadas, suspensas acima de um plano que representa o solo.

Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.

A sombra projetada no solo é

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Com o sol a pino, você vê cada letra "de cima". Uma placa de pé, vista de cima, vira uma faixa da largura da letra. E os espaços entre as letras continuam lá.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a vista de cima de quatro letras em pé, de mesma espessura e com espaços iguais entre elas.
ESTRUTURAR
- Letras: P, I, N, E, de larguras diferentes (o I é a mais estreita).
- Espessura igual: as faixas têm a mesma "profundidade".
- Espaçamento igual entre letras vizinhas.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Prever a sombra de cada letra e depois conferir os espaços.
A armadilha: esquecer os espaços e marcar a faixa contínua (alternativa A), ou aceitar espaços de tamanhos diferentes (alternativas B, C e D). O enunciado garante espaçamento igual.
CALCULAR
- Cada letra, vista de cima, vira um retângulo da largura da letra. Os "furos" do P e os traços do E somem, porque olhamos a letra de lado.
- Larguras: P larga, I estreita, N larga, E média.
- Entre elas, três espaços pequenos e iguais.
Só a alternativa E mostra quatro faixas nessa ordem de larguras, com espaços iguais.
CONFERIR
Nas alternativas B, C e D os espaços entre as faixas têm tamanhos diferentes, e na A não há espaço nenhum.

Resposta: E

Leve para outras questões: em projeção ortogonal, imagine o olho exatamente na direção dos raios. Placas vistas "de lado" viram segmentos ou faixas finas.

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ENEM 2013 · Questão 180 Média

A gangorra vista do chão

Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra.

Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

Gangorra com a tábua apoiada no pivô central; a ponta A está embaixo, junto ao chão, e a ponta B está no alto.

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:

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Cada ponta descreve um arco num plano vertical. Projetar no chão é olhar de cima: o que sobra do arco é só o vaivém na direção da tábua.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a forma da trajetória das pontas vista de cima.
ESTRUTURAR
- A e B giram em torno do pivô, à mesma distância dele.
- Movimento num plano vertical.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Perceber que a trajetória é um arco vertical e projetar esse arco no chão.
A armadilha: desenhar a própria trajetória, um arco (alternativa C), sem projetar. Vista de cima, a curva achata e vira segmento.
CALCULAR
Cada ponta percorre um arco de circunferência num plano vertical que contém a tábua.
A projeção ortogonal desse arco no chão é um segmento na direção da tábua: a ponta vai e volta entre a posição mais afastada (tábua na horizontal) e a mais próxima do pivô (tábua inclinada ao máximo).
CONFERIR
Um arco vertical não tem largura para os lados, então a sombra não pode ser curva nem um ponto, porque a distância horizontal ao pivô muda ✓.

Resposta: B

Leve para outras questões: curva contida num plano vertical sempre se projeta no chão como segmento.

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2 · TRAJETÓRIAS CURVAS

No chão, a altura de cada ponto desaparece.

Na projeção num plano horizontal, a altura de cada ponto some. Só sobra o movimento "para os lados". Por isso, ao projetar um caminho no chão, descreva-o como alguém olhando de um drone, bem do alto.

Exemplo. Uma criança desce um escorregador reto e inclinado de 3 m de comprimento e 1,8 m de altura. Vista de cima, a descida é um segmento de \(\sqrt{9-3{,}24}=2{,}4\) m.

Marque pontos de referência. Projete o começo, o fim e alguns pontos do meio do caminho, e só depois ligue.

Com luz num ponto, trace os raios que saem da lâmpada e passam pela figura, e veja onde cada um encontra o chão.

Quando a luz sai de um ponto: semelhança

O raio que passa pelo alto da cabeça marca o fim da sombra. Os triângulos de alturas \(H\) e \(h\) são semelhantes.

Com uma lâmpada, os raios não são paralelos: cada um sai do mesmo ponto. O tamanho da sombra depende da distância até a luz, e a conta é de semelhança de triângulos:

\[\frac{s}{d+s}=\frac{h}{H}\]

Exemplo. Lâmpada a 5 m do chão, pessoa de 2 m a 6 m do poste: \(\frac{s}{6+s}=\frac25\Rightarrow5s=12+2s\Rightarrow s=4\) m.

Sol × lâmpada. Com o sol, a sombra de um objeto não muda quando ele se afasta. Com a lâmpada, ela cresce à medida que o objeto se afasta do poste.

ENEM 2014 · Questão 160 Média

A mão no corrimão

O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D.

Escada caracol com o corrimão em hélice. Os pontos A, B, C, D e E estão igualmente espaçados no corrimão, e P, A e E estão na mesma reta vertical.

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

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Olhe a escada de cima: o corrimão vira uma circunferência. A e E estão na mesma vertical, então de A até E é uma volta inteira. Quantos dos 4 trechos iguais vão de A até D?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que fração de uma volta completa o caminho de A até D representa, vista de cima.
ESTRUTURAR
- A, B, C, D, E igualmente espaçados.
- A e E na mesma vertical: de A até E, uma volta.
- Caminho: de A até D.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Contar os trechos e transformar em fração de volta.
A armadilha: achar que de A até D é meia volta e escolher a meia circunferência (alternativa B). De A até D são 3 dos 4 trechos da volta.
CALCULAR
De A até E: 4 trechos iguais = 1 volta. Cada trecho: um quarto de volta.
De A até D: 3 trechos = três quartos de volta.
A projeção é um arco de três quartos de circunferência.
CONFERIR
A projeção não pode cruzar a si mesma (alternativa E) nem passar de uma volta (alternativa D), pois o caminho é menor que uma volta ✓.

Vista de cima da escada: o corrimão vira uma circunferência. A e E coincidem, pois estão na mesma vertical, e A, B, C, D dividem a volta em quatro quartos. O caminho de A até D, destacado, é um arco de três quartos de circunferência.

Resposta: C

Leve para outras questões: em projeções ortogonais no piso, apague a altura; hélices viram circunferências e retas verticais viram pontos.

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ENEM 2012 · Questão 153 Difícil

O globo da morte

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Figura 1: foto de um globo da morte, jaula esférica de aço. Figura 2: esfera com o ponto A embaixo, no chão, e o ponto B no topo; o segmento AB é vertical e passa pelo centro.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.

Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por

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A circunferência que passa por A e B está num plano vertical, e a luz sai de B, que está nesse mesmo plano. Para onde vão todos os raios de luz?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a forma da sombra no chão de uma circunferência vertical iluminada por um ponto dela mesma.
ESTRUTURAR
- Circunferência que passa por A (no chão) e B (topo).
- AB vertical, pelo centro: a circunferência está num plano vertical.
- Luz em B.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Perceber que os raios de luz saem de B e passam por pontos do mesmo plano vertical.
A armadilha: pensar que a sombra de uma circunferência é sempre uma circunferência (alternativa A). Isso só vale para um círculo paralelo ao chão.
CALCULAR
Todo raio que sai de B e passa por um ponto da circunferência fica no plano vertical que contém a circunferência. Esse plano corta o chão numa reta que passa por A. Então todas as sombras caem sobre essa reta: a imagem é um segmento de reta.
CONFERIR
Pontos perto de A fazem sombra perto de A; pontos perto de B fazem sombra cada vez mais longe; tudo na mesma linha ✓.

Resposta: E

Leve para outras questões: se a fonte de luz está no plano da figura, a sombra fica na reta em que esse plano corta o chão.

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3 · CAMINHOS NO CUBO

Siga o trajeto aresta por aresta e marque onde cada trecho cai na base.

Desenhe a base do cubo (um quadrado, às vezes quadriculado) à parte. Para cada trecho do caminho, pergunte: ele é vertical (vira ponto), horizontal (aparece em tamanho real) ou inclinado (aparece encolhido, ligando as projeções das pontas)?

Exemplo. No cubo ABCDEFGH, com ABCD embaixo e E acima de A, o caminho A → E → F → B → C projetado na base ABCD fica: A → A (ponto), A → B, B → B (ponto), B → C. O desenho é só o segmento AB seguido de BC.

Projete só os vértices. Em caminho feito de segmentos, basta projetar as pontas de cada trecho e ligar em ordem.

Confira o ponto de vista. Algumas questões pedem a projeção "vista da posição em que se está enxergando o cubo". Vire o desenho da base do mesmo jeito.

ENEM 2022 · Questão 160 Difícil

O robô no cubo

Um robô, que tem um ímã em sua base, se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternando entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos iniciais desse robô.

Cubo transparente em perspectiva, com as arestas de trás tracejadas. O ponto P fica no centro da face de cima. Setas mostram o trajeto inicial: de P até o meio da aresta de cima à direita, descendo até o centro da face da direita; de lá até o meio da aresta vertical de trás à direita e, pela face de trás, até o centro dela; depois descendo até o meio da aresta de baixo de trás e seguindo para o centro da face de baixo.

A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, visualizada da posição em que se está enxergando esse cubo, é

Ver uma pista

A figura já mostra o caminho por três faces: cima, direita e fundo, até chegar à face de baixo. Continue alternando esquerda e direita até voltar a P. Depois "achate" o trajeto na base: o que é vertical vira um ponto.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir as seis faces que o robô percorre e desenhar a "sombra" do trajeto na base.
ESTRUTURAR
- Trajeto da figura: cima → direita → fundo → baixo.
- Na face de baixo ele converte à esquerda e vai para a face da esquerda; ali converte à direita e vai para a frente; na frente converte à esquerda e volta para cima, em P.
- O trajeto completo passa pelas 6 faces: cima, direita, fundo, baixo, esquerda e frente.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Projetar cada trecho na base.
Cima → direita → fundo → baixo: sai do centro da base, vai ao meio do lado direito, segue pela borda até o canto de trás à direita, vai ao meio do lado de trás e volta ao centro. Desenha o quadrado de trás à direita.
Baixo → esquerda → frente → cima: do centro ao meio do lado esquerdo, ao canto da frente à esquerda, ao meio do lado da frente e de volta ao centro. Desenha o quadrado da frente à esquerda.
A armadilha: desenhar três quadrados (alternativas B e E) ou só o lado direito da base (alternativa C). Os trechos verticais nas faces laterais viram pontos, por isso a projeção tem só dois quadrados, em cantos opostos.
CALCULAR
- Primeira metade do trajeto (cima, direita, fundo): quadrado de trás à direita.
- Segunda metade (baixo, esquerda, frente): quadrado da frente à esquerda.
- Os dois quadrados se tocam só no centro da base.
CONFERIR
O trajeto tem simetria: a segunda metade é a primeira "girada" para o lado oposto do cubo. Por isso os dois quadrados ficam em cantos opostos da base, de trás à direita e da frente à esquerda, como na alternativa A.

Base do cubo vista de cima, com o fundo em cima e a frente embaixo, dividida em quatro quadrados. Em azul, o quadrado de trás à direita, que é a projeção da primeira metade do trajeto (cima, direita, fundo, baixo). Em dourado, o quadrado da frente à esquerda, que é a projeção da segunda metade (baixo, esquerda, frente, cima). Os trechos verticais viram pontos, e os dois quadrados se tocam no centro: alternativa A.

Resposta: A

Leve para outras questões: em projeção ortogonal, trechos perpendiculares ao plano viram pontos. Projete ponto a ponto (centros de face, meios de aresta) e só depois ligue.

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ENEM 2024 · Questão 174 Média–difícil

A trajetória ABCDEF

Em um jogo virtual para celular, um personagem pode percorrer trajetórias retilíneas voando ou se deslocando ao longo de paredes. Considere que o personagem descreve a trajetória ABCDEF, em que os pontos A, D e E estão em um plano paralelo ao que contém os pontos B e C, sendo esses dois planos ortogonais ao plano da base que contém o ponto F, conforme a figura.

Duas paredes verticais quadriculadas e paralelas sobre uma base quadriculada. O ponto A fica no alto, no fundo da parede da direita. A trajetória vermelha vai de A até B, na parede da esquerda; desce na vertical de B até C; vai de C até D, na parede da direita; desce pela parede de D até E; e termina em F, no meio da borda da frente da base.

A projeção ortogonal, sobre o plano da base, da trajetória ABCDEF descrita pelo personagem é

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Olhe de cima. Uma parede vertical vira uma linha: a borda da base. Então B e C, um embaixo do outro, viram um ponto só. E D e E ficam a que distância do fundo? Use os quadradinhos da parede.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: desenhar a vista de cima da trajetória, sabendo onde cada ponto cai na base.
ESTRUTURAR
- A, D e E estão na parede da direita, então caem na borda direita da base.
- B e C estão na parede da esquerda, um embaixo do outro, então caem no mesmo ponto da borda esquerda.
- Contando os quadradinhos a partir do fundo: A no fundo; B e C a 1 quadradinho; D a 2; E a 3; F na borda da frente, no meio.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Marcar cada ponto na vista de cima e ligar na ordem A, B, C, D, E, F.
A armadilha: achar que D está na mesma profundidade de C e ligar os dois com uma reta horizontal (alternativas A, D e E). Pela malha da parede, D está um quadradinho mais à frente que C, então o trecho de C a D desce na vista de cima.
CALCULAR
- A até B: diagonal do canto do fundo à direita até a borda esquerda, 1 quadradinho à frente.
- B até C: é vertical, vira um ponto e não aparece.
- C até D: diagonal da borda esquerda até a borda direita, descendo 1 quadradinho.
- D até E: o trecho está na parede, então vira um pedaço da borda direita, de 2 a 3 quadradinhos do fundo.
- E até F: diagonal até o meio da borda da frente.
CONFERIR
A única alternativa sem trecho na borda esquerda (B e C viram um ponto), com um trecho na borda direita (D até E) e com C até D inclinado é a C ✓.

Vista de cima da base quadriculada, com o fundo em cima. A fica no canto do fundo, na borda direita. B e C caem no mesmo ponto da borda esquerda, a 1 quadradinho do fundo. D fica na borda direita a 2 quadradinhos e E a 3. F fica no meio da borda da frente. A trajetória projetada vai de A até B e C, desce em diagonal até D, segue pela borda direita até E e termina em F.

Resposta: C

Leve para outras questões: em projeção ortogonal, segmento vertical vira ponto e o que está numa parede vertical cai sobre a borda dela. Use a malha para medir a profundidade de cada ponto.

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4 · VISTAS DE FRENTE, DE LADO E DE CIMA

Três projeções do mesmo sólido, em três planos perpendiculares.

Frente: o lado das faces claras. Lado: o das faces azuis. Cima: o das faces douradas.

Cada vista é a projeção ortogonal do sólido num plano: a frontal num plano vertical à frente, a lateral num plano vertical ao lado e a superior no chão. Na vista, o que está atrás fica escondido pelo que está na frente, e só sobra o contorno.

Com pilhas de cubos, a vista de cima mostra onde há pilhas; as vistas de frente e de lado mostram a maior altura em cada fileira.

O escondido não aparece. Uma parte que está atrás de outra mais alta some da vista; por isso, sólidos diferentes podem ter a mesma vista.

Uma vista só não identifica o sólido

Cilindro em pé: o círculo aparece só de cima.

O mesmo cilindro deitado: o círculo passa para a vista lateral.

O retângulo da vista de frente serve para um cilindro, para um paralelepípedo e para um prisma triangular deitado. Por isso o desenho técnico usa duas ou três vistas juntas: cada uma tira uma dúvida que a outra deixa.

Como as vistas se alinham. A frente e a de cima têm a mesma largura; a frente e a lateral têm a mesma altura; a de cima e a lateral têm a mesma profundidade. Use essas medidas comuns para conferir se três vistas podem ser do mesmo sólido.

Convenção do desenho técnico. Arestas visíveis em linha contínua; arestas escondidas atrás do sólido em linha tracejada. Na prova, preste atenção se as alternativas mostram ou não as linhas escondidas.

Mudou a posição, mudam as vistas. O sólido é o mesmo, mas deitar ou girar troca qual vista mostra cada face.

ENEM 2016 · Questão 155 Média

A cadeira fechada

Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

Cadeira dobrável de diretor, vista de frente: encosto e assento de lona, braços, e pernas que se cruzam em X na frente.

Qual é o esboço obtido pelos alunos?

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O X das pernas aparece na vista de frente. Pense em como a cadeira é vista de lado: perna da frente, perna de trás e a barra que as liga embaixo. Fechar a cadeira muda a vista de lado?

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o desenho do lado da cadeira dobrada, sabendo que o X está na frente, não no lado.
ESTRUTURAR
- O X das pernas está na frente da cadeira.
- Ao fechar, as duas laterais se aproximam e o X desaparece de vista.
- A lateral tem pernas paralelas e uma barra de apoio no chão.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Separar o que pertence à vista de frente (o X) e o que pertence à vista de lado (pernas paralelas e barra).
A armadilha: desenhar o X na vista lateral (alternativas B, D e E). O X é a vista de frente da cadeira aberta. A alternativa A esquece a barra que liga as pernas embaixo.
CALCULAR
Vista lateral da cadeira fechada: encosto, assento, braço, perna da frente e perna de trás paralelas, ligadas por uma barra embaixo. Esse é o esboço C.
CONFERIR
Com a cadeira fechada, as duas laterais ficam encostadas e, vistas de lado, uma tampa a outra: aparece só um retângulo de pernas com a barra ✓.

Resposta: C

Leve para outras questões: em vistas, pergunte primeiro de onde o observador olha; detalhes de uma face não aparecem na vista de outra.

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ENEM 2020 · Questão 177 Média

A planta do telhado

A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como apresentado na Figura 2.

Figura 1: (a) casa com telhado de duas águas e (b) planta do telhado, um retângulo dividido ao meio por uma linha horizontal, com uma seta para cima e outra para baixo. Figura 2: casa com telhado de três caídas de água: duas grandes, na frente e atrás, e uma triangular numa das pontas; a outra ponta é reta, sem caída.

A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o escoamento da água de chuva que o pedreiro precisa fazer é

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Três caídas são três faces do telhado, e cada uma precisa de uma seta. Veja também que a planta é a vista de cima da casa, então continua sendo um retângulo.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a vista de cima de um telhado com duas faces grandes e uma face triangular numa ponta, com uma seta em cada face.
ESTRUTURAR
- Faces: frente (seta para baixo), fundo (seta para cima) e a triangular de uma ponta (seta para fora).
- A outra ponta é reta, sem caída.
- O contorno visto de cima é retangular.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Conferir três condições: contorno retangular, três faces e uma seta em cada.
A armadilha: a alternativa A tem as três faces desenhadas, mas a face triangular está sem seta. A C e a E desenham o triângulo do lado de fora, como se o telhado fosse "aberto" no chão, o que não é uma vista de cima. A D tem quatro faces.
CALCULAR
- A: três faces, mas só duas setas.
- B: retângulo, três faces e três setas (triângulo à esquerda com seta para a esquerda).
- C: triângulo fora do retângulo.
- D: quatro faces.
- E: triângulos fora do retângulo e quatro faces.
CONFERIR
Na Figura 2, uma ponta do telhado é inclinada (a face triangular) e a outra é reta. A alternativa B tem as linhas inclinadas só de um lado, com o lado oposto reto.

Resposta: B

Leve para outras questões: em vistas de cima, as faces inclinadas aparecem "achatadas" dentro do contorno da construção, nunca do lado de fora.

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ENEM 2020 · Questão 176 Difícil

O sólido que desce no jogo

Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura.

Sólido formado por quatro cubos iguais: uma coluna de dois cubos, um cubo encostado na base da coluna e outro encostado no topo da coluna, em outra direção.

Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua descida.

A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é

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O sólido é igual em todas as alternativas: a decisão está nas sombras. Cada cubo aparece em duas paredes e no chão, e as três sombras precisam combinar entre si e com a altura dos cubos.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: em qual alternativa as projeções nas duas paredes e no chão são coerentes com o mesmo sólido de 4 cubos.
ESTRUTURAR
- O sólido tem 2 andares: uma coluna de 2 cubos, um cubo ao lado da base da coluna e um cubo ao lado do topo, em direção perpendicular.
- Em cada plano, um cubo fica "atrás" de outro, então cada projeção tem 3 quadrados formando um L.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar coordenadas: na parede esquerda aparecem a posição ao longo dela e a altura; na parede direita, a outra direção e a altura; no chão, as duas direções. Cada cubo precisa estar nas três.
A armadilha: comparar o desenho do sólido, que é idêntico nas cinco alternativas. Só as projeções mudam. Na alternativa A, por exemplo, os quadrados da parede direita estão uma linha mais altos que os da parede esquerda, o que é impossível: os mesmos cubos não podem ter duas alturas.
CALCULAR
Leitura da alternativa E (andar de baixo = linha de baixo nas paredes):
- Parede esquerda: em cima, as posições 1 e 2; embaixo, só a 2. A coluna está na posição 2 e o cubo extra de cima está na 1.
- Parede direita: em cima, só a posição 1; embaixo, a 1 e a 2. A coluna está na 1 e o cubo extra de baixo está na 2.
Juntando: coluna em (2, 1), cubo de cima em (1, 1) e cubo de baixo em (2, 2). O cubo de cima está ao lado do topo numa direção, e o de baixo ao lado da base na outra direção, como no sólido. No chão, essas três posições formam um L, que é a sombra mostrada.
CONFERIR
As duas paredes da alternativa E mostram as sombras na mesma altura (os dois andares do sólido), e o L do chão usa exatamente as posições lidas nas paredes.

Resposta: E

Leve para outras questões: em projeções, cada cubo deixa marca em todos os planos. Leia as posições em uma vista e confira se elas reaparecem nas outras; altura nas paredes tem de bater.

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UFRGS 2026 · Questão 69 Média

O volume pelas três vistas

Um sólido S é formado por cubos de aresta 1, justapostos. A figura abaixo mostra as vistas frontal, lateral e superior do sólido S.

Três vistas do sólido S. Frontal: colunas de 1, 2 e 3 quadrados, da esquerda para a direita. Lateral: colunas de 3, 2 e 1 quadrados. Superior: uma fileira de 3 quadrados em cima e mais 2 quadrados descendo abaixo do quadrado da direita, formando um L.

O volume do sólido S é

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A vista superior mostra onde há pilhas de cubos (5 lugares). A frontal dá a altura máxima de cada coluna, e a lateral, de cada fileira. Descubra a altura de cada pilha.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura de cada uma das 5 pilhas.
Na vista superior, a fileira de trás tem 3 lugares (colunas 1, 2 e 3), e a coluna 3 desce mais 2 lugares, na fileira do meio e na da frente.
ESTRUTURAR
- Frontal (colunas 1, 2, 3): alturas máximas 1, 2 e 3.
- Lateral (fileiras): alturas máximas 3, 2 e 1.
- Coluna 1 tem uma pilha só, então ela tem altura 1. A coluna 2 também, então tem altura 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Cruzar as restrições, começando pelas pilhas que estão sozinhas na coluna.
A armadilha: contar os quadrados das três vistas, \(6 + 6 + 5 = 17\) (alternativa E). Cada vista mostra o mesmo cubo mais de uma vez.
CALCULAR
- A fileira de trás contém a pilha de altura 2 (coluna 2), então na lateral ela é a de altura 3 ou 2. Lida na ordem da lateral (3, 2, 1), ela fica numa ponta, então é a de altura 3.
- Na fileira de trás, só a coluna 3 pode ter 3 cubos: pilha de altura 3.
- Fileira do meio (só coluna 3): altura 2. Fileira da frente (só coluna 3): altura 1.
\[V = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9\]
CONFERIR
Frontal: colunas com máximos 1, 2 e 3 ✓. Lateral: fileiras com máximos 3, 2 e 1 ✓. Superior: 5 pilhas ✓. Nenhuma altura podia ser outra, então o sólido é único.

Vista superior em L com a altura de cada pilha: fileira de trás 1, 2 e 3; coluna da direita descendo 2 e 1. Embaixo, os máximos da vista frontal (1, 2, 3); ao lado, os da lateral (3, 2, 1). Volume 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9.

Resposta: A

Leve para outras questões: em vistas, escreva o número de cubos em cada quadrado da vista superior. Comece pelas pilhas que estão sozinhas numa coluna ou fileira, porque nelas a vista diz a altura exata.

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5 · ARMADILHAS DE PROVA

Os seis erros que mais derrubam questão de vista e projeção.

Desenhar o objeto como ele é visto de lado quando a pergunta é a sombra no chão. Veja na questão da escultura.
Projetar o movimento e não a posição. Um arco num plano vertical vira, no chão, outra figura. Veja na questão da gangorra.
Contar errado a fração de volta de um caminho que gira. Veja na questão do corrimão.
Usar regras de projeção ortogonal quando a luz sai de um ponto. Veja na questão do globo da morte.
Esquecer de girar a base para o ponto de vista que o enunciado pede. Veja na questão do robô.
Tratar as três vistas separadamente, sem cruzar a informação de uma com a outra. Veja na questão das três vistas.

6 · DESAFIO

Um visitante anda por todas as arestas e diagonais de um cubo apoiado num vértice. Que sombra isso faz?

Comece pelas pontas: descubra onde cai a projeção de cada vértice do cubo e só depois ligue os pontos. Clique numa alternativa para conferir. A resolução segue os 5 passos: interpretar, estruturar, escolher a estratégia, calcular e conferir.

ENEM 2021 · Questão 137 Difícil

O cubo apoiado no vértice

O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.

Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.

Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.

Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.

Fotografia do Atomium, em Bruxelas: esferas metálicas nos vértices de um cubo e uma no centro, ligadas por tubos ao longo das arestas e das diagonais. A estrutura está apoiada sobre um vértice, com uma diagonal vertical.

Disponível em: http://trupedatrip.com. Acesso em: 25 out. 2019.

A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por

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Olhe o cubo "de cima", ao longo da diagonal vertical. O vértice de cima e o de baixo caem no mesmo ponto, o centro. Os outros seis vértices formam um hexágono regular em volta.

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INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: como ficam, vistas de cima, as 12 arestas e as 4 diagonais de um cubo apoiado num vértice com a diagonal vertical.
ESTRUTURAR
- Vértice de cima e vértice de baixo: projetam-se no centro.
- Os outros 6 vértices: hexágono regular em volta do centro.
- O centro do cubo também se projeta no centro.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Projetar as arestas e as diagonais uma a uma.
- 6 arestas ligam os vértices do "meio" entre si: viram os 6 lados do hexágono.
- 3 arestas saem do vértice de cima e 3 do de baixo: viram 6 segmentos do centro até os vértices do hexágono.
- A diagonal vertical vira um ponto; as outras 3 diagonais caem sobre esses mesmos segmentos do centro.
A armadilha: imaginar o cubo visto de frente ou de lado, o que gera quadriláteros como os das alternativas B, C e D, ignorando que a diagonal do cubo está na vertical.
CALCULAR
- Contorno: hexágono regular.
- Por dentro: 6 segmentos do centro aos vértices, ou seja, 3 diagonais do hexágono.
- Resultado: hexágono dividido em 6 triângulos.
CONFERIR
O desenho tem simetria de 120° em torno do centro, como o próprio cubo girado em torno da diagonal vertical. Só a alternativa E tem essa forma sem linhas a mais.

Hexágono regular visto de cima, com um ponto escuro no centro. O centro reúne o vértice de cima, o vértice de baixo e o centro do cubo. Os 6 lados do hexágono são as arestas do meio. Três segmentos azuis ligam o centro a vértices alternados: são as arestas que descem do vértice de cima. Três segmentos dourados ligam o centro aos outros três vértices: são as arestas que sobem do vértice de baixo. As diagonais caem sobre esses segmentos e a diagonal vertical vira um ponto. Resultado: hexágono com 3 diagonais, formando 6 triângulos.

Resposta: E

Leve para outras questões: o cubo visto ao longo da diagonal vira hexágono. Em projeção, sempre veja primeiro quais pontos coincidem.

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7 · TREINO RÁPIDO

Dez perguntas para fixar, com resposta.

Responda imaginando a sombra com o sol a pino, a não ser que a pergunta diga outra coisa. Se errar mais de duas, volte à seção correspondente.

1
Qual a projeção ortogonal, no chão, de um poste vertical?
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Um ponto.
2
Qual a projeção ortogonal, no chão, de uma moeda deitada sobre a mesa?
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Um círculo do mesmo tamanho.
3
Qual a projeção ortogonal, no chão, de uma bola?
Ver resposta
Um círculo do tamanho de um círculo máximo da bola.
4
Uma rampa reta tem 5 m de comprimento e sobe 3 m. Quanto mede sua projeção no chão?
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\(\sqrt{25-9}=4\) m.
5
Qual a projeção ortogonal de um cubo no plano de uma das faces?
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Um quadrado igual à face.
6
Qual a projeção ortogonal, no chão, de um cone de pé (base no chão)?
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Um círculo, a base.
7
E a vista de frente desse mesmo cone?
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Um triângulo isósceles.
8
Vista de frente e vista de cima são círculos iguais. Que sólido conhecido pode ser?
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Uma esfera.
9
Na vista de cima de uma pilha de cubos aparecem 5 quadrados, e as vistas de frente e de lado mostram altura máxima 1. Quantos cubos há?
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5 cubos, um em cada quadrado.
10
Uma lâmpada a 3 m do chão ilumina uma criança de 1 m, que está a 2 m do pé da lâmpada. Qual o comprimento da sombra?
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Por semelhança, \(\dfrac{s}{s+2}=\dfrac13\Rightarrow s=1\) m.

RESUMO PARA REVISAR

Vistas e projeções em seis linhas.

Projeção ortogonal: cada ponto desce perpendicular ao plano.
Paralelo ao plano mantém forma e tamanho; perpendicular vira ponto ou segmento.
No chão, a altura some: descreva o caminho visto do alto.
Caminho de segmentos: projete as pontas e ligue em ordem.
Vistas: frente, lado e cima são três projeções; cruze as três.
Luz num ponto é projeção central: trace os raios.

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