Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere as seguintes afirmações sobre números e suas operações.
I. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cdots > 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} \cdots .
II. \sqrt{\sqrt{7+10}} < \sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{10}} .
III. 6 \cdot 5^{10} < 5 \cdot 6^{10} .
Quais estão corretas?
Na I, as duas somas são PGs infinitas: calcule cada uma. Na II, compare o que está dentro da raiz de fora, elevando ao quadrado. Na III, divida os dois lados por 5 \cdot 6.
O que a questão quer de verdade: decidir três comparações entre números, sem calculadora.
• I: duas PGs infinitas, de razões \frac{1}{2} e \frac{1}{3}.
• II: dentro da raiz de fora, \sqrt{17} contra \sqrt{7} + \sqrt{10}.
• III: potências de 5 e de 6 com o mesmo expoente depois de simplificar.
Calcular a I, elevar ao quadrado na II, simplificar a III.
A armadilha: na II, ler o lado esquerdo como \sqrt{\sqrt{7} + 10}. A raiz de dentro cobre "7 + 10", e o lado esquerdo é \sqrt{\sqrt{17}}.
I. Esquerda: \frac{1}{1 - \frac12} = 2. Direita: \frac{2}{1 - \frac13} = 3. Como 2 < 3, a I é falsa.
II. Basta comparar \sqrt{17} com \sqrt7 + \sqrt{10}. Ao quadrado: 17 contra 7 + 10 + 2\sqrt{70} = 17 + 2\sqrt{70}. O da direita é maior, então a II é verdadeira.
III. Dividindo os dois lados por 30 = 5 \cdot 6, fica 5^9 < 6^9. Verdadeira.
II e III corretas: alternativa D.
Por que as outras tentam: quem acha que a soma maior é a que começa em 1, por ter mais termos grandes, marca a I e vai para C ou E. Quem lê a raiz da II errado descarta a II e fica sem alternativa com "apenas III".
Apenas II e III.
