Considere as seguintes afirmações sobre números racionais.
I. Se 0<a\le b, então \frac{b}{a} é sempre um número irracional.
II. Se 0<a\le b, então 0<a\le\frac{a+b}{2}\le b.
III. Se 0<a<b<1, então \log(a)<\log(b)<0.
Quais estão corretas?
UFRGS · 2026
Questão 62 — UFRGS 2026
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Resolução
O que você precisa saber
- Contraexemplo
- Média aritmética
- Monotonicidade do logaritmo
1. Teste a afirmação I
Ela afirma que \frac{b}{a} seria sempre irracional. Um único contraexemplo basta.
a=b=1\Rightarrow\frac{b}{a}=1Como 1 é racional, a afirmação I é falsa.
2. Verifique a afirmação II
Se a\le b, a média aritmética fica entre os dois números:
a\le\frac{a+b}{2}\le bLogo, a afirmação II é verdadeira.
3. Verifique a afirmação III
Considerando o logaritmo na base usual >1, a função é crescente. Como 0<a<b<1, os logaritmos são negativos e preservam a ordem:
\log(a)<\log(b)<0Logo, a afirmação III é verdadeira.
4. Conclua
As corretas são II e III.
Resposta
II e III estão corretas.
Alternativa correta
D