O valor de
\left[\left(1+\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\tfrac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\tfrac{1}{4}\right)\cdot \cdots \cdot\left(1+\tfrac{1}{99}\right)\right]^2é
UFRGS · 2024
Questão 46 — UFRGS 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva cada parênteses como uma fração só: 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}… O que acontece quando você multiplica?
Resolução
O que você precisa saber
- Somar 1 com 1/k dá (k + 1)/k.
- Num produto telescópico, o numerador de um fator cancela o denominador do seguinte.
- Um número é múltiplo de 4 quando os dois últimos algarismos formam múltiplo de 4.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor do produto ao quadrado, para testar de quem ele é múltiplo.
Atenção: esta questão foi anulada pela UFRGS no gabarito oficial. A conta mostra o motivo: o resultado é 2500, que é múltiplo de 4 e também de 5, então duas alternativas são verdadeiras. A resolução abaixo serve para estudo.
ESTRUTURAR
\left(1+\tfrac{1}{k}\right) = \frac{k+1}{k}O produto vai de k = 2 até k = 99.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Escrever o produto como frações e cancelar em cadeia.
A armadilha: tentar multiplicar fator por fator. São 98 frações; o cancelamento resolve em uma linha.
CALCULAR
\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdots\frac{100}{99} = \frac{100}{2} = 5050^2 = 2500CONFERIR
2500 = 4 \cdot 625 e 2500 = 5 \cdot 500: as alternativas A e B são verdadeiras. Não é múltiplo de 6 (não é divisível por 3), nem de 7, nem de 8 (2500 = 8 \cdot 312{,}5).
Por isso a questão tem duas respostas e foi anulada.
Resposta
Questão anulada pela UFRGS no gabarito oficial: nenhuma alternativa é considerada correta. Pela conta, o valor é 2500, múltiplo de 4 (A) e de 5 (B) ao mesmo tempo.