Um jogador, ao marcar números em um cartão de aposta, como o representado na figura abaixo, decidiu utilizar apenas seis números primos.
A probabilidade de que os seis números sorteados no cartão premiado sejam todos números primos é
UFRGS · 2020
Questão 48 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Quantos primos há de 1 a 60? O sorteio escolhe 6 números sem importar a ordem.
Resolução
O que você precisa saber
- Os primos até 60 são 17: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 e 59.
- Casos favoráveis: grupos de 6 primos; casos possíveis: grupos de 6 dos 60 números.
- Probabilidade nunca passa de 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: contar grupos de 6 primos sobre todos os grupos de 6 números.
ESTRUTURAR
Favoráveis: C_{17,6}. Possíveis: C_{60,6}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Dividir favoráveis por possíveis.
A armadilha: marcar \tfrac{1}{C_{60,6}}, que é a chance de acertar os 6 números marcados, e não a de saírem só primos.
CALCULAR
P = \frac{C_{17,6}}{C_{60,6}} = \frac{12\,376}{50\,063\,860} \approx 0{,}000247CONFERIR
Contagem dos primos até 60: 4 até 10, mais 11, 13, 17, 19 (8), 23, 29 (10), 31, 37 (12), 41, 43, 47 (15), 53, 59 (17) ✓.
Atenção: a alternativa D também tem o mesmo valor, porque A_{n,6} = C_{n,6} \cdot 6! e o 6! se cancela: \tfrac{A_{17,6}}{A_{60,6}} = \tfrac{C_{17,6}}{C_{60,6}}. O gabarito oficial da UFRGS é A, e a questão não foi anulada; A é a forma esperada porque o sorteio não depende da ordem.
Por que as outras tentam: B é acertar os 6 números marcados; C e E são maiores que 1, impossíveis para uma probabilidade.
Resposta
\dfrac{C_{17,6}}{C_{60,6}}.
Alternativa correta
A