Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere um cubo de aresta a. Os pontos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCGF, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo.
O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo
Uma aresta liga os centros de duas faces vizinhas, por exemplo M (frente) e J (lado direito). Projete no plano da base: os dois centros ficam a \frac{a}{2} de distância em cada direção.
O que a questão quer de verdade: a distância entre os centros de duas faces vizinhas do cubo.
Com o cubo em [0, a]^3: M = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right) e J = \left(a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right).
Calcular a distância MJ.
A armadilha: confundir com a diagonal da face (a\sqrt2). A aresta do octaedro liga centros, e não vértices.
Por outro caminho: o quadrado LMJK, no meio do cubo, tem diagonal LJ = a (de uma face lateral até a oposta). Seu lado é \frac{a}{\sqrt2} = \frac{a\sqrt2}{2} ✓.
Por que as outras tentam: B (a\sqrt2) é a diagonal de uma face do cubo, e C (\frac{a\sqrt3}{2}) é metade da diagonal do cubo.
\frac{a\sqrt2}{2}.
