Considere a sequência de números binários 101, 1010101, 10101010101, 101010101010101... .
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos dessa sequência é
UFRGS · 2016
Questão 32 — UFRGS 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Conte os algarismos 1 de cada termo: 101 tem 2, 1010101 tem 4, ... Qual é o padrão?
Resolução
O que você precisa saber
- Os zeros não mudam a soma dos algarismos.
- Termos que crescem sempre com a mesma diferença formam uma PA.
- Soma de PA: (primeiro + último) · número de termos ÷ 2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos algarismos 1 há nos 20 primeiros termos.
ESTRUTURAR
Quantidade de 1 em cada termo: 2, 4, 6, 8, ... O termo n tem 2n algarismos 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar 2 + 4 + \cdots + 40.
A armadilha: contar 1, 2, 3, ... algarismos 1 por termo e somar só até 20.
CALCULAR
2 + 4 + \cdots + 40 = 2(1 + 2 + \cdots + 20) = 2 \cdot 210 = 420CONFERIR
Os termos têm 3, 7, 11, 15 algarismos (4 a mais cada vez), e cada novo "10" acrescenta dois 1 a cada passo: 101 → 1010101 acrescenta "1010" ✓.
Por que as outras tentam: C (210) é 1 + 2 + \cdots + 20, contando um 1 a menos por passo.
Resposta
420.
Alternativa correta
D