Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior.
O número de trapézios na 6ª etapa de construção é
(A)
14.
(B)
15.
(C)
16.
(D)
17.
(E)
18.
Pista
Um trapézio aparece entre duas linhas horizontais quaisquer (a base conta como linha). Quantas linhas horizontais há na etapa 6?
Resolução
O que você precisa saber
Um trapézio precisa de dois lados paralelos: aqui, duas linhas horizontais.
Trapézios maiores podem juntar várias faixas.
Escolher 2 de n linhas, sem ordem, dá n vezes (n menos 1) dividido por 2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: contar todos os trapézios da figura, inclusive os formados por várias faixas juntas.
ESTRUTURAR
Na etapa n há n - 1 segmentos mais a base: n linhas horizontais.
Duas linhas horizontais, junto com os lados do triângulo, formam um trapézio. A linha de cima com o vértice forma um triângulo, não um trapézio.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Contar pares de linhas horizontais.
A armadilha: contar só as faixas simples. Na etapa 6 são 5, número que nem aparece nas alternativas.
CALCULAR
Etapa 6: 6 linhas horizontais.
\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15
CONFERIR
Nas primeiras etapas: etapa 2, \binom{2}{2} = 1 trapézio; etapa 3, \binom{3}{2} = 3 (duas faixas e a união delas). Bate com os desenhos ✓.
Por que as outras tentam: A (14) aparece quando se conta à mão e se esquece o trapézio maior, que junta as 5 faixas: 5 + 4 + 3 + 2 = 14.
