Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as inequações x^2 + y^2 < 4 e y < x + 1 delimitam uma região no plano. O número de pontos que estão no interior dessa região e possuem coordenadas inteiras é
UFRGS · 2014
Questão 32 — UFRGS 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Liste os pontos inteiros dentro do círculo de raio 2 (sem a borda). Depois teste y < x + 1 em cada um.
Resolução
O que você precisa saber
- x² + y² < 4 é o interior do círculo de centro na origem e raio 2.
- Pontos sobre a borda não contam, porque a desigualdade é estrita.
- y < x + 1 é o semiplano abaixo da reta, sem a reta.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: contar os pontos inteiros dentro do círculo e abaixo da reta.
ESTRUTURAR
Dentro do círculo: x e y entre -1 e 1, 9 pontos. Os pontos (\pm 2, 0) e (0, \pm 2) dão x^2 + y^2 = 4 e ficam de fora.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar y < x + 1 nos 9 pontos.
A armadilha: contar os pontos que estão exatamente sobre a reta y = x + 1.
CALCULAR
Não valem (y \ge x + 1): (-1, 0), (-1, 1) e (0, 1).
Valem: (-1, -1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0) e (1, 1). São 6 pontos.
CONFERIR
(0, 1): 1 < 1 é falso, então fica fora ✓. (1, 1): 1 < 2 vale ✓.
Por que as outras tentam: E (9) conta todos os pontos do círculo, sem a reta; D (8) aceita os dois pontos sobre a reta.
Resposta
6 pontos.
Alternativa correta
B