Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Um barco pesqueiro está situado na praia do Cassino a 2 km da costa. O pescador precisa chegar ao ponto Q situado na praia para descarregar sua carga de peixe. Ele consegue empregar uma velocidade máxima no seu barco de 4 km/h e na praia consegue andar a uma velocidade máxima de 8 km/h.
Considere \sqrt{3} = 1{,}7.
Qual o tempo mínimo que o pescador levaria para chegar do barco até o ponto Q?
O caminho tem dois trechos: no mar, a 4 km/h, até um ponto da costa; e em terra, a 8 km/h, até Q. Cada trecho é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Tempo = distância ÷ velocidade.
O que a questão quer de verdade: o menor tempo para ir do barco até Q, somando o trecho no mar (4 km/h) e o trecho em terra (8 km/h).
Nota editorial: os dados da prova não fecham exatamente em 0,83 h. Pelo caminho da figura (30° com a vertical), o tempo dá cerca de 0,85 h. O menor tempo possível sai com x = 1 km e vale \frac{3\sqrt5}{8} = 0{,}838... h. Esse é o mínimo exato: em x = 1, o seno do ângulo com a vertical no mar \left(\frac{1}{\sqrt5}\right) dividido por 4 é igual ao seno do ângulo em terra \left(\frac{2}{\sqrt5}\right) dividido por 8. Com duas casas, truncando, 0,838 vira 0,83, que é o gabarito oficial; essa é a leitura mais provável da banca, que não publica a conta. Todas as outras alternativas ficam longe.
Com o pé da perpendicular do barco como origem e x o ponto onde ele chega à costa:
- Mar: catetos 2 e x; hipotenusa \sqrt{4 + x^2}, a 4 km/h.
- Terra: catetos 3 - x e 1; hipotenusa \sqrt{(3-x)^2 + 1}, a 8 km/h.
Calcular o tempo pelo caminho da figura e comparar com outros pontos de chegada à costa.
A armadilha: achar que o caminho mais curto (a linha reta até Q) é o mais rápido. Como o barco é mais lento, compensa andar um pouco menos no mar.
Pelo caminho da figura (30° com a vertical): no mar, \frac{2}{\cos 30^\circ} = \frac{4}{\sqrt3} \approx \frac{4}{1{,}7} \approx 2{,}35 km, em cerca de 0,59 h. Ele chega à costa em x = 2 \operatorname{tg} 30^\circ \approx 1{,}18 km; em terra, \sqrt{1{,}82^2 + 1} \approx 2{,}08 km, em cerca de 0,26 h. Total: cerca de 0,85 h.
Testando outros pontos da costa:
\begin{array}{c|c|c|c} x \text{ (km)} & \text{mar} & \text{terra} & \text{total} \\ \hline 0 & 0{,}50 & 0{,}40 & 0{,}90 \\ 1 & 0{,}56 & 0{,}28 & 0{,}84 \\ 2 & 0{,}71 & 0{,}18 & 0{,}88 \\ 3 & 0{,}90 & 0{,}13 & 1{,}03 \end{array}O menor tempo é com x = 1: \frac{\sqrt5}{4} + \frac{\sqrt5}{8} = \frac{3\sqrt5}{8} \approx 0{,}84 h, cerca de 50 minutos.
Os tempos ficam todos entre 0,84 h e 1,03 h; a alternativa compatível é 0,83 h (A).
Por que as outras tentam: B (1 hora) é ir de barco até a costa em frente a Q e andar 1 km (cerca de 1,03 h). D (30 minutos) é só o trecho de 2 km até a costa, sem a parte em terra. E (1,5 h) é fazer os 2 + 3 + 1 = 6 km a 4 km/h. C (2,5 h) não corresponde a nenhum caminho razoável.
Cerca de 0,83 hora (gabarito oficial; veja a nota editorial).
