Questão 17 PAVE 2 2018: Trigonometria no triângulo retângulo: trajeto do drone (resolvida)

Uma empresa de transporte de valores resolveu investir em drones para fazer suas entregas. Um drone, que é um veículo aéreo não tripulado, garante agilidade e segurança no transporte. Em uma das entregas, a aeronave deveria partir do ponto A e pousar com a mercadoria no ponto B. Inicialmente, o drone percorreu 1000\sqrt{3} m em trajetória retilínea, formando um ângulo de 60° com a horizontal. A partir dessa distância, desceu em linha reta perpendicularmente com a horizontal e pousou atingindo o ponto B. Se, nessa mesma entrega, o drone tivesse se deslocado em linha reta entre os pontos A e B, teria percorrido, a menos, a distância de:

(A)

3230 m

(B)

1150\sqrt{3} m

(C)

2365 m

(D)

500\sqrt{3} m

(E)

750\sqrt{3} m

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

cos 60° = 1/2 e sen 60° = √3/2.
Cateto adjacente = hipotenusa · cosseno; cateto oposto = hipotenusa · seno.
"Percorrer a menos" é a diferença entre o caminho feito e o caminho direto.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: comparar o caminho do drone (subida mais descida) com o caminho direto de A até B.

ESTRUTURAR

Chame de C o ponto onde o drone para de subir.

• Subida (hipotenusa): AC = 1000\sqrt{3} m, a 60° da horizontal.

• Descida vertical: CB, cateto oposto ao ângulo de 60°.

• Trajeto direto: AB, cateto adjacente.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Usar seno e cosseno de 60° no triângulo ABC, retângulo em B.

A armadilha: trocar seno e cosseno. Com o cosseno no cateto vertical, a descida sairia 500\sqrt{3} m e o trajeto direto, 1500 m.

CALCULAR

AB = 1000\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = 1000\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 500\sqrt{3} \approx 866 \text{ m}CB = 1000\sqrt{3} \cdot \operatorname{sen} 60^\circ = 1000\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1500 \text{ m}

Caminho feito: 1000\sqrt{3} + 1500 \approx 3232 m. Diferença para o caminho direto: 1000\sqrt{3} + 1500 - 500\sqrt{3} = 1500 + 500\sqrt{3} \approx 2366 m.

CONFERIR

Pitágoras confere: (500\sqrt{3})^2 + 1500^2 = 750\,000 + 2\,250\,000 = 3\,000\,000 = (1000\sqrt{3})^2 ✓.

Com \sqrt{3} \approx 1{,}73: 1500 + 500 \cdot 1{,}73 = 1500 + 865 = 2365 m, exatamente o valor da (C).

Por que as outras tentam: A (3230 m) é o caminho todo que o drone fez, com a mesma aproximação; responde "quanto percorreu", e não "quanto a menos". D (500\sqrt{3} m) é o trajeto direto AB: é um passo da conta, mas não a diferença. B e E misturam os coeficientes de \sqrt{3}.

Resposta

(c) 2365 m: é quanto o drone teria percorrido a menos indo direto de A até B (1500 + 500\sqrt{3} m, com \sqrt{3} \approx 1{,}73).

Alternativa correta C