Questão 17 PAVE 2 2019: Lei dos senos: largura do arroio (resolvida)

As obras de duplicação da BR 116, no entorno do município de Pelotas, passaram por várias etapas. Em uma dessas etapas, surgiu a necessidade de construir uma nova ponte, que serve para o trânsito dos veículos no sentido Pelotas – Porto Alegre. Com isso, os engenheiros precisavam descobrir a largura do arroio sobre o qual essa ponte seria construída, para então fazer os cálculos de materiais necessários. Para isso, marcaram na margem em que estavam, um ponto A e um ponto B, e efetuaram as medições dos ângulos B\hat{A}C e C\hat{B}A, além de medir a distância \overline{AB}. Das respectivas medições encontraram que C\hat{B}A = 57^\circ, B\hat{A}C = 95^\circ e \overline{AB} = 30m, conforme podemos observar na figura abaixo.

Imagem autoral

Considerar, se necessário, as aproximações

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 28^\circ & 57^\circ & 95^\circ \\ \hline \text{sen} & 0{,}47 & 0{,}84 & 1 \\ \hline \cos & 0{,}88 & 0{,}55 & -0{,}09 \\ \hline \end{array}

Sendo assim, o comprimento total da ponte a ser construída e que ligará os pontos A e C, representados na figura, é de:

(A)

53,6 m.

(B)

35,7 m.

(C)

18,75 m.

(D)

-4,9 m.

(E)

25,2 m.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Lei dos senos: cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá o mesmo valor.
O lado oposto a um ângulo é o que não toca o vértice dele.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o lado \overline{AC} do triângulo ABC, conhecendo \overline{AB} = 30 m e os ângulos em A e B.

ESTRUTURAR

• \hat{C} = 180^\circ - 95^\circ - 57^\circ = 28^\circ.

• \overline{AC} é oposto a \hat{B} = 57^\circ.

• \overline{AB} = 30 m é oposto a \hat{C} = 28^\circ.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Lei dos senos com os pares (lado, ângulo oposto). É por isso que a tabela traz o 28°, que não aparece no enunciado.

A armadilha: usar a tabela do cosseno no lugar da do seno. Com cossenos sai 30 \cdot \frac{0{,}55}{0{,}88} = 18{,}75 (C).

CALCULAR

\frac{AC}{\operatorname{sen} 57^\circ} = \frac{AB}{\operatorname{sen} 28^\circ} \iff AC = \frac{30 \cdot 0{,}84}{0{,}47} = \frac{25{,}2}{0{,}47} \approx 53{,}6 \text{ m}

CONFERIR

Coerência: o maior ângulo (95°, em A) fica oposto ao maior lado, BC = \frac{30 \cdot 1}{0{,}47} \approx 63{,}8 m; AC, oposto a 57°, fica entre esse e AB ✓.

Por que as outras tentam: E (25,2) para no numerador 30 \cdot 0{,}84, sem dividir por sen 28°. B (35,7) é \frac{30}{0{,}84}, com a razão invertida. C usa cossenos. D (30 \cdot \frac{-0{,}09}{0{,}55} \approx -4{,}9) usa cos 95° e dá comprimento negativo, o que é impossível.

Resposta

Cerca de 53,6 m.

Alternativa correta A