Questão 9 PAVE 2 2020: Lei dos cossenos: distância com ângulo de 60° (resolvida)

Seu Vilson possui um sítio na região da Cascata, distrito de Pelotas, e deseja fazer umas melhorias na sua propriedade. Hoje, a água que chega a sua casa é captada em um córrego distante 60 m de sua caixa d’água, sendo esta, bombeada por uma bomba d’água. Sua casa encontra-se a 100 m de distância desta caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água–bomba e caixa d’água–casa é de 60°. Seu Vilson deseja bombear água do mesmo ponto de captação no córrego até sua casa, e então solicitou a seu filho, que fizesse os cálculos, pois o rapaz é estudante de segundo ano do ensino médio de uma escola profissionalizante de Pelotas. Sendo assim, a quantidade mínima que Seu Vilson deve comprar de encanamento será de

(A)

10\sqrt{19}\ \text{m}

(B)

15\sqrt{17}\ \text{m}

(C)

20\sqrt{17}\ \text{m}

(D)

10\sqrt{17}\ \text{m}

(E)

20\sqrt{19}\ \text{m}

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc · cos α, em que α é o ângulo entre b e c.
cos 60° = 1/2.
Para simplificar uma raiz, tire o maior quadrado perfeito: √7600 = √(400 · 19) = 20√19.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o comprimento do cano em linha reta da captação até a casa, que é o terceiro lado de um triângulo.

O ponto de captação no córrego é onde fica a bomba. Assim, o triângulo tem vértices na captação (bomba), na caixa d’água e na casa, com o ângulo de 60° na caixa d’água.

ESTRUTURAR

• Caixa d’água–captação: 60 m.

• Caixa d’água–casa: 100 m.

• Ângulo entre esses dois lados: 60°.

• Incógnita: d, distância captação–casa, oposta ao ângulo de 60°.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Aplicar a lei dos cossenos e simplificar a raiz.

A armadilha: usar o teorema de Pitágoras, como se o ângulo fosse reto. Aí sai d = \sqrt{13600} = 20\sqrt{34}, que não está nas alternativas.

CALCULAR

d^2 = 60^2 + 100^2 - 2 \cdot 60 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 3600 + 10000 - 6000 = 7600d = \sqrt{7600} = \sqrt{400 \cdot 19} = 20\sqrt{19} \approx 87{,}2 \text{ m}

CONFERIR

Faz sentido: 87{,}2 m fica entre 100 - 60 = 40 m e 100 + 60 = 160 m, como deve ser o terceiro lado de um triângulo. E é menor que os 100 m, porque o ângulo de 60° é agudo.

Por que as outras tentam: A (10\sqrt{19}) é a metade da resposta, de quem tira \sqrt{100} = 10 de dentro da raiz em vez de \sqrt{400} = 20. As alternativas com \sqrt{17} não saem de uma conta natural com esses dados; servem para quem erra a fatoração de 7600.

Resposta

20\sqrt{19} m.

Alternativa correta E