Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto O. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto A está sobre o contorno do quadrado, o ponto B está sobre o contorno do círculo, e o segmento AB tem tamanho 2 u.m.
Quando o ângulo \theta = A\hat{O}B for máximo, seu cosseno será:
No triângulo OAB, OB = AB = 2. Use a lei dos cossenos com OA = a.
O que a questão quer de verdade: o menor valor possível de \cos\theta quando A percorre o quadrado.
Isolar \cos\theta em função de a = OA e ver qual a o torna mínimo.
A armadilha: pensar que \theta é máximo com A no vértice do quadrado (o ponto mais longe de O). Como \cos\theta cresce com a, o máximo de \theta vem com A mais perto de O.
4a\cos\theta = a^2, então \cos\theta = \frac{a}{4}.
O menor a é \frac{1}{2} (ponto médio de um lado do quadrado).
\cos\theta = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}.
Com A no vértice, a = \frac{\sqrt{2}}{2} e \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{8} \approx 0{,}18 > \frac{1}{8}: ângulo menor, como esperado. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
\frac{1}{8}.
