Considerando um triângulo ABC e sabendo-se que as medidas dos ângulos A e B são, respectivamente, 30° e 45° e que a medida do lado BC é igual a 4 cm; então, o lado AC vale
Questão 19 — UCPel 2016
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Cada lado fica de frente para um ângulo: BC está oposto a A e AC está oposto a B. Use a lei dos senos.
Resolução
- Lei dos senos: a / sen A = b / sen B = c / sen C.
- sen 30° = 1/2 e sen 45° = √2/2.
- O lado oposto ao ângulo A é o lado BC (o que não toca o vértice A).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: relacionar dois lados com os ângulos opostos a eles.
ESTRUTURAR
• BC = 4 é oposto ao ângulo A = 30°.
• AC é oposto ao ângulo B = 45°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar \frac{BC}{\operatorname{sen} A} = \frac{AC}{\operatorname{sen} B}.
A armadilha: trocar os pares e usar BC com o ângulo de 45°, o que dá 2\sqrt2 (alternativa B).
CALCULAR
\frac{4}{\frac12} = \frac{AC}{\frac{\sqrt2}{2}}8 = \frac{2 \cdot AC}{\sqrt2}\Rightarrow AC = 4\sqrt2CONFERIR
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado: 45° é maior que 30°, então AC deve ser maior que BC = 4. De fato, 4\sqrt2 \approx 5{,}66. Alternativa A.
Por que as outras tentam: B (2\sqrt2 \approx 2{,}83) é o resultado com os pares trocados, menor que 4, o que já contradiz a regra do maior ângulo. As outras não saem da lei dos senos com esses dados.
AC = 4\sqrt{2} cm.