Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
UFPR · 2014
Questão 34 — UFPR 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Depois de 1 hora, os navios estão a 16 km e a 6 km do porto. O ângulo entre os dois cursos é 105° - 45°. Use a lei dos cossenos.
Resolução
O que você precisa saber
- Rumos medidos a partir do norte no mesmo sentido: o ângulo entre eles é a diferença.
- Lei dos cossenos: d² = a² + b² − 2ab cos θ.
- cos 60° = 0,5.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o terceiro lado de um triângulo com lados 16 e 6 e ângulo de 60° entre eles.
ESTRUTURAR
• Lados: 16 km e 6 km.
• Ângulo no porto: 105° - 45° = 60°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a lei dos cossenos.
A armadilha: somar as distâncias (22 km, alternativa E) ou subtrair (10 km, alternativa A). Esses seriam os casos de rumos opostos ou iguais, não de 60°.
CALCULAR
d^2 = 16^2 + 6^2 - 2 \cdot 16 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circd^2 = 256 + 36 - 96 = 196d = 14\ \text{km}CONFERIR
14 fica entre 10 e 22, como deve ser para um ângulo entre 0° e 180°. E 14^2 = 196. Alternativa B.
Resposta
14 km.
Alternativa correta
B