Considere as funções reais f, g e h definidas por f(x) = 2x, g(x) = -\frac{x}{2} e h(x) = \sqrt{4 - x^2}. A área da região compreendida entre os gráficos das funções f(x), g(x) e h(x) é
UFRGS · 2024
Questão 56 — UFRGS 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O gráfico de h é a metade de cima de um círculo de raio 2. E as retas f e g: qual é o ângulo entre elas?
Resolução
O que você precisa saber
- y = √(r² − x²) é a semicircunferência de cima, de centro na origem e raio r.
- Duas retas são perpendiculares quando o produto das inclinações é −1.
- Um setor de ângulo θ tem área (θ/360°) · πr².
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: reconhecer a região como um setor circular e calcular sua área.
ESTRUTURAR
• h: semicírculo de raio 2.
• f e g: retas pela origem, inclinações 2 e -\frac12.
• 2 \cdot \left(-\frac12\right) = -1: ângulo de 90°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
A região é o setor de 90° de um círculo de raio 2.
A armadilha: achar que a região é todo o semicírculo. Ele vale 2\pi, alternativa D, mas as retas cortam só um quarto do círculo.
CALCULAR
A = \frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \cdot 2^2 = \frac14 \cdot 4\pi = \piCONFERIR
As retas formam ângulos de \approx 63{,}4^\circ e \approx 153{,}4^\circ com o eixo x: a diferença é 90^\circ ✓. O setor é metade do semicírculo, \frac{2\pi}{2} = \pi ✓.
Resposta
\pi.
Alternativa correta
C