O valor máximo da função trigonométrica f(x) = \sqrt2\,\text{sen}(x) + \sqrt2\cos(x) é
UFRGS · 2020
Questão 43 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Coloque 2 em evidência: \tfrac{\sqrt2}{2} é o seno e o cosseno de 45°. Que fórmula de soma aparece?
Resolução
O que você precisa saber
- sen(x + 45°) = sen x · cos 45° + cos x · sen 45°.
- cos 45° = sen 45° = √2/2.
- O maior valor do seno é 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: transformar a soma de seno e cosseno num seno só.
ESTRUTURAR
f(x) = 2\left(\frac{\sqrt2}{2}\,\text{sen}\,x + \frac{\sqrt2}{2}\cos x\right) = 2\,\text{sen}(x + 45°)ESCOLHER ESTRATÉGIA
O máximo de 2\,\text{sen}(\dots) é 2.
A armadilha: somar os máximos separados (\sqrt2 + \sqrt2) ou achar que o máximo é \sqrt2, sem perceber que seno e cosseno não chegam a 1 ao mesmo tempo.
CALCULAR
\max f = 2 \cdot 1 = 2 \quad \text{(em } x = 45°\text{)}CONFERIR
Em x = 45°: \sqrt2 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 1 + 1 = 2 ✓. Pela fórmula geral, a\,\text{sen}\,x + b\cos x tem máximo \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 ✓.
Por que as outras tentam: A é o máximo de cada parcela sozinha; D e C não saem de nenhuma conta correta; E confunde o valor com um ângulo.
Resposta
2.
Alternativa correta
B