Considere o pentágono regular de lado 2 e duas de suas diagonais, conforme representado na figura abaixo.
A área do quadrilátero ABCD é
UFRGS · 2015
Questão 42 — UFRGS 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No pentágono regular, cada diagonal é paralela a um lado. Que tipo de quadrilátero é ABCD?
Resolução
O que você precisa saber
- No pentágono regular, cada diagonal é paralela ao lado que não toca.
- Área do paralelogramo: lado vezes lado vezes o seno do ângulo entre eles.
- Ângulos suplementares têm o mesmo seno: sen 108° = sen 72°.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área de ABCD, que é um losango de lado 2 com ângulo de 108°.
Atenção: esta questão foi anulada pela UFRGS no gabarito oficial. A conta mostra o motivo: a área é 4\operatorname{sen} 108°, que é igual a 4\operatorname{sen} 72°, então duas alternativas estão certas. A resolução abaixo serve para estudo.
ESTRUTURAR
• AD está na diagonal que vai de A ao topo, paralela a BC.
• DC está na diagonal horizontal, paralela a AB.
• ABCD é paralelogramo com AB = BC = 2: um losango de lado 2.
• O ângulo em B é o ângulo interno do pentágono: 108°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar A = a \cdot b \cdot \operatorname{sen}\theta no losango.
A armadilha: tratar ABCD como trapézio e procurar medidas que a figura não dá.
CALCULAR
A = 2 \cdot 2 \cdot \operatorname{sen} 108° = 4\operatorname{sen} 108°\operatorname{sen} 108° = \operatorname{sen}(180° - 72°) = \operatorname{sen} 72°CONFERIR
4\operatorname{sen} 72° \approx 3{,}80, menos que a área do pentágono (cerca de 6,88) ✓.
Como \operatorname{sen} 108° = \operatorname{sen} 72°, as alternativas D e E têm o mesmo valor. Por isso a questão tem duas respostas e foi anulada.
Resposta
Questão anulada pela UFRGS no gabarito oficial: nenhuma alternativa é considerada correta. Pela conta, a área é 4\operatorname{sen} 108° = 4\operatorname{sen} 72°, valor de D e de E ao mesmo tempo.